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2025-2026学年晨光中学高一第一次月考
数学试卷
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．给出下列四个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
3．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．甲 乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．A与B没有包含关系
7．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ）
A． B．acC．a(b－c)>b(a－c) D．
10．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最小值
11．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数为实数，若，则的最大值为3
D．设为实数，若，则的最大值为
三 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）
12．已知，则的取值范围是 .
13．设集合，，则满足且的集合有 个
14．调查在某商店购买了商品的50名顾客，发现其中有35名顾客购买了A商品，有30名顾客购买了B商品，则A，B两种商品都购买了的顾客最多有 名，最少有 名．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知集合，，求，，，.
16．已知全集为，集合，或求：
(1)
(2)
(3)
17．设全集为实数集，集合.
(1)当时，求；
(2)若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
19．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
(2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
(3)若为正整数，求：“完美集”
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B B A C A ABC ABC
题号 11
答案 BD
12．
13．12
14．30 15
15．由，，
则，，
或，或，
所以或，或，
或，或或.
16．（1）由，或，得.
（2）由全集为，得或，，
所以.
（3）依题意，或，所以.
17．（1）解，得，所以，
当时，，
或，
所以或，
（2）由（1）知，，
而必为非空集合，
因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
所以（等号不同时成立），
解得.
即实数的取值范围.
18．（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴，
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润；
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元），
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
19．（1）由，，
所以集合是“完美集”；
（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根与系数关系可知，相当于方程的两根，
由于，解得或（舍），
所以，
又，均为正数，
所以、至少有一个大于；
（3）不妨设中，
由，
得，
当时，即有，
又为正整数，所以，
则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，即有，
故只能，，
则，可求得，
于是此时“完美集”只有一个为；
当时，由，
即有，
又，
又，所以，
即，
又，
即，与矛盾，
所以当时，不存在“完美集”；
综上所述，“完美集”为.

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