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2024-2025学年江西省九江外国语学校“开拓杯”八年级（下）竞赛数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类可回收垃圾，其中图案是中心对称图形的是（　　）
A. 塑料 B. 旧衣服 C. 金属 D. 玻璃
2.若a＞b,则下列不等式一定成立的是（　　）
A. a+3＜b+4 B. a-3＜b-3 C. 1-a＜1-b D. b-a＞0
3.下列分解因式正确的是（　　）
A. -2x2+4x=-2x（x+2） B. x2+xy+x=x（x+y）
C. x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2 D. x2+6x-9=（x-3）2
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，则S△ABD：S△ACD=（　　）
A. 25：16
B. 5：4
C. 16：25
D. 4：5
5.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A. （-，3）
B. （-3，）
C. （-，2+）
D. （-1，2+）
6.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．如果[]=-3（　　）
A. -6≤x＜-4 B. -8≤x＜-6 C. -6＜x≤-4 D. -8＜x≤-6
7.一次函数y1=kx-1（k≠0）与y2=-x+2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是（　　）
A. k＞-1，且k≠0
B. -1≤k≤2，且k≠0
C. k＜2，且k≠0
D. k＜-1或k＞2
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH为△ABC的角平分线，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，将△DCE沿DE翻折，使点C的对应点C′恰好落在角平分线CH上，连接AC并延长交BC于点F，若BF=7，则点C′到AB的距离为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=______度．
10.因式分解：3x2-12x=______．
11.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 .
12.若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13.有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，则剩2个苹果；若每个小朋友分4个，则有一个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足3个.已知小朋友人数是偶数个，那么苹果的个数是 .
14.已知a=2019x+2018，b=2019x+2019，c=2019x+2020，则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为 .
15.已知a为整数，关于x的方程a（2x+1）=5有整数解，关于y的不等式组至少有4个整数解，则符合条件的a值有 .
16.在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
如图2，已知∠C=18°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）因式分解：25（m+n）2-9（m-n）2；
（2）解不等式组：，并求出最小整数解.
18.(本小题8分)
在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，M，P，Q均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示：
（1）图1中，作△ABC关于点M中心对称的△A1B1C1；
（2）图2中，F是网格线上的一点，连接BF，根据网格特点在图中标出BF的中点D，将线段AB平移得到线段EF，点A的对应点为点F；
（3）图3中，A（5，2），B（6，5），P（4，4），Q（1，5），线段AB绕着点G旋转90°可以得到线段PQ，直接写出旋转中心G的坐标G ______.
19.(本小题10分)
灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”.已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元.
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变.在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损.销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
20.(本小题10分)
如图①，在等腰直角△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，点D为BC的中点，CD=CE，∠DCE=90°.
操作感知：线段AD与BE的数量关系是______，位置关系是______；
猜想论证：如图②，将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，AD与BC，BE分别交于点F，点G，以上结论还成立吗？说明理由；
拓展应用：如图③，当0°＜α＜180°时，连接AE，BD，若∠ACE=120°，则四边形ABDE的面积为______.
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y=x+2上一点，直线y=x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y=x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

22.(本小题10分)
综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题.
【建立模型】（1）如图1，点M为等边三角形ABC内部一点，小颜发现：将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，则MC=NA，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点M为正方形ABCD内部一点，将BM绕点B逆时针旋转90°得到BN，连接CM并延长，交AN于点E.求证：；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为△ABC内部一点，AB=AC.点P，Q是AB，AC上的动点，且AP=AQ，若，请直接写出PM+QM的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】60
10.【答案】3x（x-4）
11.【答案】（2，2）
12.【答案】x≠
13.【答案】26
14.【答案】3
15.【答案】-1和-5
16.【答案】36°或45°或54°
17.【答案】4（4m+n）（m+4n）；
1
18.【答案】（3.5，2.5）或（4.5，5.5）
19.【答案】解：（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；
（2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进（500-a）件，
根据题意得：150a+120（500-a）≤66600，
解得：a≤220，
又∵a≥（500-a），
解得：a≥200，
∴200≤a≤220，
设利润为w元，根据题意得：
w= （175-150）（a-5）+（175×0.6-150）×5+（150-120）（500-a-3）+（150×0.6-120）×3=5a+14640，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=220时，w最大，最大值为5×220+14640=15740，
答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元．
20.【答案】AD=BE AD⊥BE
21.【答案】解：（1）把点C（2，m）代入直线y=x+2中得：m=2+2=4，
∴点C（2，4），
∵直线y=x+b过点C，
4=b，b=5；
（2）①由题意得：PD=t，
y=x+2中，当y=0时，x+2=0，x=-2，
∴A（-2，0），
y=x+5中，当y=0时，x+5=0，
x=10，
∴D（10，0），
∴AD=10+2=12，
∴AP=AD-DP=12-t，
∵△ACP的面积为10，
∴4=10，
解得t=7，
则t的值7秒；
②设点P（10-t，0），点A、C的坐标为：（-2，0）、（2，4），
当AC=PC时，则点C在AP的中垂线上，即2-（-2）=10-t-2，
解得：t=4；
当AP=CP时，则点P在点C的正下方，故2=10-t，
解得：t=8；
当AC=AP时，
∵AC=,
∴AP=,即12-t=,
∴t=12-4
故：当t=4秒或（12-4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形．
22.【答案】证明见解析；
证明见解析；
．
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