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2024-2025学年江苏省无锡市宜兴实验中学九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A. ax2+bx+c=0 B. x+y=1 C. x2-2x-3=0 D.
2.已知⊙O的半径为4，OA=5，则点A在（　　）
A. ⊙O内 B. ⊙O上 C. ⊙O外 D. 无法确定
3.抛物线y=x2+2x+3与y轴的交点为（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （0，3） D. （3，0）
4.△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16
5.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　）
A. x2-4=0 B. 4x2+4x+1=0 C. x2+2x+4=0 D. x2-x-1=0
6.下列语句中，正确的是（　　）
A. 经过三点一定可以作圆 B. 等弧所对的圆周角相等
C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 三角形的外心到三角形各边距离相等
7.设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
8.如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A. B. C. D.
9.△ABC中，∠C=90°，内切圆与AB相切于点D，AD=2，BD=3，则△ABC的面积为（　　）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定
10.如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知=，则的值是______．
12.已知函数是二次函数，则m=______．
13.若圆锥的母线为10，底面半径为6，则圆锥的侧面积为______.
14.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，若PA=3，∠APO=45°，则⊙O的半径是______．
15.已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+3=0的一个根为1，则m=______．
16.若函数y=mx2-4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是______．
17.已知二次函数y=ax2+bx+c的顶点D（-1，2），与x轴的一个交点A在（-3，0）和（-2，0）之间（不含端点），如图所示，以下结论：①b2-4ac＞0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，其中正确的有 .（填序号）
18.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆.P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）.连接AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ.当t= 时，直线AP与⊙O相切；当t= 时，直线AQ与⊙O相切.
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2-4=0；
（2）x2+6x+3=0；
（3）x2-4x-5=0；
（4）（2x-1）2=2（2x-1）.
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C=90°，BC=2，求AB的长．
22.(本小题10分)
已知二次函数y=x2-2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线.
（1）若图象经过点（2，3），求m的值和图象的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，则m= ______；
（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b,则m的取值范围是______.
23.(本小题10分)
如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE CP的值．
24.(本小题10分)
某服装厂里有许多剩余的三角形边角料，找出一块△ABC，测得∠C=90°（如图），现要从这块三角形上剪出一个半圆O，做成玩具，要求：使半圆O与三角形的两边AB、AC相切，切点分别为D、C，且与BC交于点E．
（1）在图中设计出符合要求的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）Rt△ABC中，AC=3，AB=5，连接AO，求出AO的长度．
25.(本小题10分)
某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：
每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆）
A 60 x -x+100
B 50 y -2y+150
（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
26.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，AB=AC=5，E为BC边上的一动点，动点F从点B出发，沿着B-A-D的方向，以每秒1个单位的速度向点D运动，设运动时间为t秒，作B点关于直线EF的对称点B′.
（1）当点E在BC中点处，且F在线段AB上时，若△FEB'与四边形ABCD重叠部分为直角三角形，求t的值；
（2）若点E与点F同时从点B出发，点E在线段BC上，以每秒0.5个单位的速度向C点运动（0＜t≤11），记线段EF与线段BD的交点为M，设△FMB′的面积为s,求s与t的函数表达式.
27.(本小题13分)
如图1，抛物线y=ax2-2ax+3与x轴相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C.点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m,过点M作ME∥x轴交抛物线于另一个点E，作MF⊥x轴，垂足为F，直线EF交y轴于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若0＜m＜1，当m为何值时，四边形CDFM是平行四边形；
（3）如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当∠APC最大时，求点P的坐标.（请直接写出结果）
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】-1
13.【答案】60π
14.【答案】3
15.【答案】2
16.【答案】m＜4且m≠0
17.【答案】①②③④
18.【答案】
或15

19.【答案】x1=-1，x2=3；
；
x1=-1，x2=5；

20.【答案】解：（1）由题意得，=（-6）2-4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，
∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，
解得m=4．
21.【答案】（1）证明：如图，∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠DBA，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
（2）解：如图，∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A+∠ABD+∠CBD=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∵BC=2，
∴AB=4．
22.【答案】m=1，顶点坐标为（1，2）；
2或-1；
．
23.【答案】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=30°，
∵PA=PD，
∴∠PAO=∠D=30°，
∴∠OPD=90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，
∵AB=4，．
∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴，
∴CP CE=CA2=（2）2=8．
24.【答案】解：（1）半圆O就是所求的图形；
（2）连接OD，
∵Rt△ABC中，AC=3，AB=5，根据勾股定理得BC=4，
由题意可知，AB是⊙O的切线，
∴∠ODB=90°，AD=AC=3，
∴BD=2，
设⊙O的半径为r，则 OB=4-r，
∴r2+22=（4-r）2，
解得r=，
在Rt△ACO中，根据勾股定理得AO=
答：AO为 ．
25.【答案】解：（1）根据题意得：-2y+150=2（-x+100），
整理得：y=x-25；
（2）根据题意得：（x-60）（-x+100）=（y-50）（-2y+150），
由（1）知，y=x-25，
∴（x-60）（-x+100）=（x-75）（-2x+200），
整理得：x2-190x+9000=0，
解得x1=90，x2=100，
∵x=100时利润为0，
∴x的值为90；
（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，
则w=（x-60）（-x+100）+（y-50）（-2y+150）
=（x-60）（-x+100）+（x-75）（-2x+200）
=-3x2+510x-21000
=-3（x-85）2+675，
∵-3＜0，
∴当x=85时，w有最大值，最大值为675，
答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．
26.【答案】t=1或或5；
当0＜t≤5时，；当5＜t≤11时，
27.【答案】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：9a-6a+3=0，
解得：a=-1，
则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（-1，0）、（0，3），
设点M（m,-m2+2m+3），则点E（2-m,-m2+2m+3），则点F（m,0），
由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：y=（x-m），
则点D（0，），
则CD=3-yD，
当四边形CDFM是平行四边形时，则CD=EF，
即3-=-m2+2m+3，
解得：m=（舍去）或m=；
（3）设△ACP的圆心为T，当圆T和抛物线对称轴相切时，∠APC最大，
理由：在圆上取一点P′（异于点P），连接CP′并延长交抛物线于点P″，
则∠CPA=∠CP′A＞∠CP″A，
即当圆T和抛物线对称轴相切时，∠APC最大，
设点P（1，p），则设点T（t,p），
则AT=CT=PT，
即（t+1）2+p2=t2+（p-3）2=（t-1）2，
解得：p=6+2（舍去）或6-2，
即点P（1，6-2）．
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