资源简介

2025-2026学年江苏省南京市金陵中学高三（上）10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2

.复数1+ ( 为虚数单位)的共轭复数为 ，则 的虚部是( )
A. 1 B. 1 C. D.
2 1 1.要得到函数 = sin( 2 + 6 )的图象，只需将函数 = sin 2 的图象( )
A. 向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度
C. 向左平移12个单位长度 D.向右平移12个单位长度
2 2
3 .以双曲线16 9 = 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是( )
2A. +
2
= 1 B.
2 2+ = 1 C.
2 2 2 2
16 9 25 9 25 +

16 = 1 D.

16 +

25 = 1
4 ( 1.若二项式 ) 的展开式中二项式系数和为 64，那么该展开式中的常数项为( )
A. 20 B. 30 C. 15 D. 20
5 { } 3 = 1 .已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 6 =( )6 4 12
A. 1 B. 1 C. 14 10 13 D.
1
16
6.若 > | | > 0， ∈ ，则下列结论一定成立的是( )
A. 2 > 2 B. 1 1 2 > 2 C.
3 < 3 D. >
7.已知直线 = 1 与抛物线 2 = 4 相切，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. ±1
8.已知半径为 4 的球 ，被两个平面截得圆 1、 2，记两圆的公共弦为 ，且 1 2 = 2，若二面角 1
22的大小为3 ，则四面体 1 2的体积的最大值为( )
A. 8 3 B. 4 2 C. 89 9 2 D.
4
9 3
二、多选题：本题共 3小题，共 9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 表示向量 ， 表示向量 ，向量 = (1,2)， = (3,1)， 为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.若向量 + 与 垂直，则实数 的值为 1
B.已知点 (4, )，若 ， ， 三点共线，则实数 的值为 2
第 1页，共 9页
C. 10在 方向上的投影向量的模为 2
D.若 = ( 1, )， + 与 4的夹角为钝角，则实数 的取值范围是( ∞, 3 )
10.已知函数 ( ) = | 2 1| ，则( )
A. ( )为奇函数 B. ( )在( 1,1)单调递减
C. ( )有且仅有三个零点 D. ( ( )) = 0 有 5 个实数解
11.已知点 (0, 5)， (0, 5)，曲线 ：4 | | | | + 4 = 0，则下列说法正确的是( )
A.直线 = 2 与曲线 无交点
B.曲线 上不存在点 ，使得| | | | = 4
C.若过点( 2,0) 2 5 2 3的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是[ 5 , 3 )
D.点 是曲线 上在第三象限内的一点，过点 向直线 = 2 与直线 = 2 作垂线，垂足分别为 ， ，则
| | | | = 45
三、填空题：本题共 3小题，每小题 3分，共 9分。
12.某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为 80，85，91，90，90，93，92，
95，则这组数据的第 70 百分位数为______．
13.袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每
次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 ，且 = 2 + 1，则 的数学期望 ( ) =______．
14.已知函数 ( )是偶函数，且 ≥ 0 时， ( ) = 2 ，若函数 = ( ) | 1| 有且只有 1 个零点，
则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 10 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 已知 = ( 6 )．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，求sin2 + sin2 + sin2 的取值范围．
16.(本小题 12 分)
已知数列{ } +2 的前 项和为 ， = 3 ( ∈ )，且 1 = 1.数列{ }为等比数列， 1 = 3 4， 4 = 5 + 1．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2) = 设 , ∈
，求数列{ }的前 项和为 ．
+1
第 2页，共 9页
17.(本小题 12 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，∠ = 90°， = = 2， ， 分别是 ， 1 的中
点．
(1)求证： / /平面 1 1 ；
(2)若平面 ⊥平面 1 ，求直线 与平面 1 所成角的正弦值
18.(本小题 12 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
2
的右顶点为 ，左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 2 , 为 上任意一
点，且| 1| + | 2| = 4．
(1)求 的方程．
(2)设过点 ( , 0)的直线 与 有两个不同的交点 ， (均不与点 重合).以线段 为直径的圆恒过点 ，求
的值；
(3)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆 1的“特征
三角形”为 1，椭圆 2的“特征三角形”为 2，若 1∽ 2，则称椭圆 1与 2“相似”，并将 1与 2的相似
2 2 2
比称为椭圆 1与 2的相似此.已知椭圆 1： 22 + = 1 与椭圆 2： 2 + 2 = 1( > > 0)相似.若椭圆 1与
2
椭圆 2的相似比为 ( > 0)，设 为 2上异于其左、右顶点 1， 2的一点.当 = 2 时，过 分别作椭圆 1的
两条切线 1， 2，切点分别为 1， 2，设直线 1， 2的斜率为 1， 2，证明： 1 2为定值．
19.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 2．
(1)求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)若 ≥ 0， ( ) = + 2 (2 + 1) ，讨论函数 ( )的单调性．
(3) 1记函数 ( ) = 22 2 ( )，设 1， 2( 1 < 2)
7
是函数 ( )的两个极值点，若 ≥ 3，且 ( 1)
( 2) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
第 3页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.92
13.5
14.[ 1,3]
15.解：(1)在△ 中，由正弦定理 = ，可得 = ，
又由 = ( 6 )，
得 = ( 6 )，即 = cos( 6 )，
= 3进而有 2 +
1
2 ，即 = 3 ，
可得 = 3，
又因为 ∈ (0, ) ，可得 = 3；
(2)sin2 + sin2 + sin2 = 3+ 14 2 (1 2 + 1 2 ) =
7 1 7 1
4 2 ( 2 + 2 ) = 4 2 [ 2 +
2( 2 3 )] =
7 14 2 (
1
2 2
3 7 1
2 2 ) = 4 + 2 sin(2

6 )，
0 < < 2
由题意得 ，解得 < < ，
0 < 2 3 <
6 2
2
5
所以6 < 2 6 < 6，
第 4页，共 9页
1
所以2 < sin(2

6 ) ≤ 1，则 2 <
7 1
4 + 2 sin(2
) ≤ 96 4．
故sin2 + sin2 + sin2 9的取值范围为(2, 4 ]．
16.(1)已知数列{ }的前 项和为
+2
， = 3 ( ∈ )，且 1 = 1，
当 ≥ 2 时， = 1 =
+2 +13 3 1，
+1
可得 = ( ≥ 2)， 1 1
即有 = 1
2

3 3 4 +1 ( +1)
1

2
= 1 = ，
1 1 2 2 1 2
上式对 = 1 也成立，则 =
( +1)
2 , ∈
；
{ }为公比设为 的等比数列， 1 = 3 4， 4 = 5 + 1，
可得 1 = 6 4 = 2， 4 = 15 + 1 = 16，则 3 = 8，即 = 2，
所以 = 2 ， ∈ ，
= ( +1)综上可得， ， 2 = 2 ， ∈ ；
2 +1 2 +2 2 +1(2) = = +1 ( +1)( +2)
= +2 +1，
3 2 4 3 +2 +1 +2
数列{ }
2 2 2 2 2 2 2
的前 项和为 = 3 2 + 4 3 + + +2 +1 = +2 2．
17.(1)证明：连接 1， 1，则 ∈ 1且 为 1的中点，
又∵ 为 的中点，∴ // 1，
又 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
故 //平面 1 1C.…(4 分)
(2)解：由 1 ⊥平面 ，得 ⊥ 1， ⊥ 1．
以 为原点，分别以 ， 1， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 1 = 2 ( > 0)，
第 5页，共 9页
则 (1,0,1)， (0, , 1)， 1(2,2 , 0)， = (1,0,1)， = ( 1, , 0)， 1 = (2, , 1)．
取平面 的一个法向量为 = ( , , )，
由 = 0，
+ = 0
= 0 得： + = 0，令 = 1，得 = ( , 1, )，
同理可得平面 1 的一个法向量为 = ( , 1,3 )，
∵平面 ⊥平面 1 ，∴ = 2 + 1 3 2 = 0，
解得 = 2，得 = ( 2 , 1, 3 2 )，又 2 2 2 = (2,0, 2)，
| | 6
设直线 与平面 1 所成角为 ，则 = |cos < , > | = = ．| || | 6
所以，直线 与平面 1 所成角的正弦值是
6．
6
18.(1)设椭圆的半焦距为 ( > 0)，
因为 为 上任意一点，且| 1| + | 2| = 4，
所以 2 = 4，
解得 = 2，
因为椭圆的离心率为 2，
2
所以 = 2，
又 2 = 2 2，
解得 2 = 2，
2 2
则椭圆的方程为 + ；4 2 = 1
(2)设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立 2 + 2 2 4 = 0，消去 并整理得(
2 + 2) 2 + 2 + 2 4 = 0，
此时 = (2 )2 4( 2 + 2)( 2 4) = 8(2 2 2 + 4) > 0，
2 2 4
由韦达定理得 1 + 2 = 2+2， 1 2 = ， 2+2
所以 1 + 2 = ( +
4
1 2) + 2 = 2+2，
1 2 = ( 1 + )( 22 + ) = 1 2 + ( + ) + 21 2
2 2
= 2 1 2 + ( 1 + 2) + 2 =
2 4
2 ， +2
因为以线段 为直径的圆恒过点 (2,0)，
所以 = 0，
第 6页，共 9页
即( 1 2)( 2 2) + 1 2 = 0，
所以 1 2 2( 1 + 2) + 4 + 1 2 = 0，
2 2 4 2 2 × 4
2
即
2+2 2+2 + 4 +
4
2+2 = 0，
解得 = 23或 = 2(舍去)，
= 2当 3时，满足 > 0，
2
所以 = 3；
2
(3)证明：易知椭圆 1： + 2 = 1 的长轴长为 2 2，短轴长为 2，焦距为 2，2

2 2
椭圆 2： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 2 ，短轴长为 2 ，焦距为 2 2 2，
2 2 2
由相似比可知， = = ，2 2 2 2
= 2
解得 = 2，
2 2
所以椭圆 2： ，4 + 2 = 1
设 ( 0, 0)，
此时直线 1的方程为 0 = 1( 0)，
即 = 1 + 0 0，
记 = 0 0，
所以 1的方程为 = 1 + ，
= 1 +
联立 2 2 ，消去 并整理得(2
2
1 + 1) 2 + 4 1 + 2 2 2 = 0，
2 + = 1
因为直线 1与椭圆 1有且只有一个公共点，
所以 = (4 )2 4(2 21 1 + 1)(2 2 2) = 0，
即 2 2 21 + 1 = 0，
第 7页，共 9页
将 = 0 0代入上式，
整理得( 2 2 20 2) 1 2 0 0 1 + 0 1 = 0，
同理得( 2 2 20 2) 2 2 0 0 2 + 0 1 = 0，
所以 1， 22为关于 的方程( 0 2) 2 2 0 0 + 20 1 = 0 的两根，
2
所以 0 11 2 = 2 ． 0 2
2 2
因为点 ( 0, )在椭圆

0 2： 4 +
上，
2 = 1
2 2
所以 ： 0 + 02 = 1，4 2
即 2 = 2
2
0
0 ．2
2
则 2
0 1
= 2 = 1．1 2 20 2 2
故 11 2为定值，定值为 2．
19.解：(1) 1由于导函数 ′( ) = 1 ，因此切线斜率为 ′(1) = 0，
又 (1) = 1，切点为(1, 1)，因此切线方程为 = 1；
2
(2) 1因为导函数 ′( ) = + 2 (2 + 1) =
2 (2 +1) +1
，( > 0)
= 0 ( ) = 1 当 时，导函数 ′ 减区间为(1, + ∞)，增区间为(0,1)，
1 1 ( 1)2
①当2 = 1，即 = 2时， ′( ) = > 0，增区间为(0, + ∞)．
1
②当2 < 1，即 >
1 1 1
2时，令 ′( ) > 0 得，0 < < 2 或 > 1；令 ′( ) < 0 得，2 < < 1．
1
减区间为( 2 , 1)；增区间为(0,
1
2 ), (1, + ∞)；
1
1 > 1 0 < < 1 ( ) = ( 1)(2 1)
2 ( 1)( )
③当 2 2 ，即 2时， ′ = ，
( ) > 0 1 1令 ′ 得，0 < < 1 或 > 2 ；令 ′( ) < 0 得，1 < < 2 ．
1 1
所以当 0 < < 2时，增区间为(0,1), ( 2 , + ∞)
1
；减区间为(1, 2 )．
综上，当 = 0 时，增区间为(0,1)；减区间为(1, + ∞)；
当 = 12时，增区间为(0, + ∞)；
0 < < 1 1 1当 2时，增区间为(0,1), ( 2 , + ∞)；减区间为(1, 2 )；
第 8页，共 9页
当 > 1 (0, 1 12时，增区间为 2 ), (1, + ∞)；减区间为( 2 , 1)．
(3) 1 1函数 ( ) = 22 2 ( ) = +
2
2 ( + 1) ，
2
( ) = 1 + ( + 1) = ( +1) +1所以 ′ ，由 ′( ) = 0，得
2 ( + 1) + 1 = 0，
依题意方程 2 ( + 1) + 1 = 0 有两不相等的正实根 1， 2，
所以 1 + 2 = + 1， 1 2 = 1，
= 1 7 1 10所以 2 ，又 ≥ 3，则 1 + = + 1 ≥ 3，解得 0 < 1 ≤
1
1 1 3
或 1 ≥ 3，
因为 1 2 = 1 且
1
1 < 2，所以 0 < 1 ≤ 3，
1 1 1
所以 ( 1 2 2 21) ( 2) = ln + 2 ( 1 2) ( + 1)( 1 2) = 2 1 2 ( 1 2 2
)，
1
构造函数 ( ) = 2 1 ( 2 1 ), ∈ (0, 12 2 3 ],
2 2
′( ) = 2 1 ( 1) 3 = 3 ≤ 0，
所以 ( )在(0, 13 ]上单调递减；
1 1 40
当 = 3时， ( ) = ( 3 ) = 9 2 3，
所以{ | ≤ 409 21 3}．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑