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2024-2025学年北京市朝阳区北京中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在本学期的选修课中，同学们在北海公园里发现了地砖有以下四种铺砌方式，其中，由一块砖仅通过平移这一种变换就能得到的是（　　）
A. 织篮式砌合 B. 错缝砌合
C. 人字砌合 D. 弯曲铺砌
2.平面直角坐标系中，点A（1，-2）的位置在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1=140°，则∠2的度数是（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4.在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD AB的是（ ）
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180°
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②
6.学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动.按照不浪费座位的原则，如果选用A型客车，一辆车可乘坐45人，那么有35人没有车坐；如果选用B型客车，一辆车可乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车.设计划租用x辆车，共有学生和带队教师y人.则根据题意列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
7.如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（　　）
A. 利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B. 利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C. 利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D. 利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
8.小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形OABC，小球P从（0，3）出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0），当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点P2024的坐标是（　　）

A. （1，4） B. （7，4） C. （0，3） D. （3，0）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知是二元一次方程ax+2y=6的一个解，那么a的值为 ．
10.9的立方根是______．
11.把命题“同角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式：______．
12.由方程组可得x,y的数量关系为______.
13.在平面直角坐标系中，A点的坐标为（2，-1），若线段AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为______．
14.如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为 ．
15.如图是利用平面直角坐标系画出的北京地铁部分站点分布图.若这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示崇文门站的坐标为（4，-1），表示北海北站的坐标为（1，1.5），则表示西单站的坐标为 .
16.用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票______枚，120分的邮票______枚.
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解方程组：．
19.(本小题5分)
根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由.
如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF.求证：DE∥BC.
证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠2=∠3（______），
∴∠1+∠3=180°，
∴ ______∥ ______（______）.
∴∠B= ______（______）.
∵∠B=∠DEF（已知），
∴∠DEF= ______（等量代换）.
∴DE∥BC（______）.
20.(本小题5分)
阅读下面的文字，解答问题.例如：∵，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（-2），请解答：
（1）的整数部分是______；
（2）已知：9-小数部分是m,9+小数部分是n,且（x-1）2=m+n,请求出满足条件的x的值.
21.(本小题5分)
如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM.

（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数.
22.(本小题5分)
已知正方形ABCD的边长为4，网格图中每个小正方形的边长均为1，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.回答下列问题.
（1）直接写出A，B的坐标；
（2）将正方形ABCD平移，使得点A与点C重合，A，B，C，D的对应点分别为C，B′，C′，D′，写出点C′，D'的坐标；
（3）（x0，y0）为正方形ABCD内一点，经过（2）中的平移后，它的对应点的坐标为______.
23.(本小题5分)
我国明代数学家程大位，（1533-1606）所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千.甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个，又问各该几个钱.
意思是：九百九十九文钱买了甜果苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题.
24.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为(-3，1)，
①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是______；
②若点B的坐标为B(m，m+6)，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______；
（2）若T1(-1，-k-3)，T2(4，4k-3)两点为“等距点”，求k的值．
25.(本小题6分)
如图，直线AB∥CD，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，延长EP与CD交于点G，过点G画GH⊥EG交MN于点H.
（1）补全图形；
（2）求证：PF∥GH；
（3）在（2）的条件下，连接PH，I是GH上一点使∠PHI=∠HPI，画PQ平分∠EPI交MN于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？请说明理由.
26.(本小题6分)
数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多.
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪载成两张小正方形.
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图.
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒（其中x,y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完.
（1）若m=158，求n,x,y的值；
（2）求x和y值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】4
10.【答案】
11.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
12.【答案】4x+9y=18
13.【答案】（2，2）或（2，-4）
14.【答案】24cm2
15.【答案】（0，0.5）
16.【答案】11 6
17.【答案】2-．
18.【答案】解：
由②得：x=2y ③
把③代入①得：2×2y+y=5
∴y=1
把y=1代入③得：x=2
∴原方程组的解为：．
19.【答案】对顶角相等 AB EF 同旁内角互补，两直线平行 ∠ EFC 两直线平行，同位角相等 ∠ EFC 内错角相等，两直线平行
20.【答案】4； x=2或x=0．
21.【答案】（1）证明：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF=∠AOF=75°，
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM=∠BOE=105°．
22.【答案】A（-2，2），B（-2，-2）；
C'（6，-6），D'（6，-2）；
（x0+4，y0+4）
23.【答案】购买甜果、苦果的个数分别为657、343个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱．
24.【答案】（1）①E、F；②（-3，3）；
（2）T1（-1，-k-3），T2（4，4k-3）两点为“等距点”，
①若|4k-3|≤4时，则4=-k-3或-4=-k-3
解得k=-7（舍去）或k=1．
②若|4k-3|＞4时，则|4k-3|=|-k-3|
解得k=2或k=0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k=1或k=2符合题意．
即k的值是1或2．
25.【答案】补全图形如图所示，
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFG=180°，
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴（∠AEF+∠EFG）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF，
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
∠ HPQ的大小不会发生变化．理由如下：
如图，
∵PF∥GH，
∴∠FPH=∠PHI，
而∠PHI=∠HPI，
∴可设∠FPH=∠IPH=α；
∵PQ平分∠EPI，
∴，
∴∠HPQ=45°+α-α=45°，
即∠HPQ的大小不会发生变化
26.【答案】n=80，x=22，y=12；
或
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