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苏科版2025—2026学年九年级上册数学期中考试调研检测试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
5．已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
6．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．某服装品牌经销商今年推出新品销售，1月份销货量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，第一季度共销售23.75万件，已知2，3两个月份销售量的月增长率相同，设2月份销售是的月增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
10．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为 ．
12．三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
13．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
14．圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留π）
15．如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 °．
16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
第II卷
苏科版2025—2026学年九年级上册数学期中考试调研检测试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长．
19．已知关于的方程有两个相等的实数根．
(1)求的值；
(2)若满足方程，试判断方程的根的情况．
20．如图，在中，，以为直径的与线段交于点，作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求劣弧的长．
21．．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 ．
（2）⊙D的半径为 ；
（3）求弧ABC的长（结果保留π）．
22．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？
23．如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
24．如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，
(1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．
①求证：是的“相望角”；
②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ；
(2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，
①求弦的长．
②当时，则 ．
25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值．
问题解决：
（1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空）
阅读材料II：已知，且．求的值．
解：由可知
．
又，且，
即，
是方程的两根．
问题解决：
（2）若，且，则___________；
（3）已知，，且．求的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A C B D A C B
二、填空题
11．5
12．10
13．2
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：，
其中，，，
，
方程无解；
（2）解：，
其中，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程的解为，；
（3）解：，
用平方差公式分解因式得：，
整理得：，
可得：或，
当时，，
当时，，
方程的解为，；
（4）解：，
移项得：，
利用完全平方公式分解因式得：，
解得：．
18．【解】（1）解：根据题意，得，
解得：；
（2）解：由根与系数的关系可知，，
∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，
∴，
整理，得，
∴，
又∵，且，
∴，
∴这个矩形的周长为：
．
19．【解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴或，
故的值为或．
（2）解：∵满足方程，
∴当时，方程为，，此时方程无实数根；
当时，方程为，，此时方程有两个不相等的实数根．
20．【解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴劣弧的长为：．
21．【解】姐：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；
故答案为：（2，﹣1）；
（2）在Rt△AED中，AE=2，ED=4，
根据勾股定理得：AD=；
故答案为：；
（3）∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，
∴△AFD≌△DGC（SAS），
∴∠ADF=∠DCG，
∵∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，
则的长l=．
22．【解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子把，
故答案为：；
②解：依题意得，，
整理得，，
解得，或，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
23．【解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∵经过的半径的外端，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．【解】（1）①证明：∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的“相望角”；
②解：∵弧的度数为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的“相望角”度数为，
故答案为：n；
（2）解：①连接，，设与交于点F，如图，
∵的“相望角”为，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或8．
故答案为：6或8．
25．【解】解：（1）∵为方程的两根，
∴，，
故答案为：11；
（2），
由可知；
∴，
∴
又，且，即；
∴a、是方程的两根，
∴，即；
故答案为：；
（3）由可知；
∴，
∴，
又，且，即；
∴m、是方程的两根，
∴；
∴．
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