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2024-2025学年北京市东城区文汇中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（　　）
A. 2，4，6 B. 1 C. 1 D. 4，5，6
4.如图，在 ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D的度数是（　　）
A. 100°
B. 140°
C. 70°
D. 40°
5.下列命题正确的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
7.如图，矩形ABCD，BD=8，对角线AC，BD交于O，若∠AOB=60°，则BC的长为（　　）
A. 4
B.
C.
D. 16
8.下列关于一次函数y=-2x+4的图象性质说法中，不正确的是（　　）
A. 直线与x轴交点的坐标是（0，2） B. 直线经过第一、二、四象限
C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4
9.如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m），踏板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A. 3.4m
B. 3.25m
C. 4m
D. 5.5m
10.如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设小P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段AB的距离为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.当x ______时，二次根式有意义．
12.已知点（-2，y1），（8，y2）均在一次函数y=3x-2的图象上，则y1 y2（填“＞”“＜”或“=”）.
13.如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，线段OB长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是______．
14.一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示：
燃烧时间（分） 10 20 30 40 50 …
剩余长度（cm） 19 18 17 16 15 …
则剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为 ，自变量的取值范围是 .
15.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.若OB=3，，则菱形ABCD的面积为______.
16.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象交于点P，则不等式kx-3≤2x+b的解集是______．
17.如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE=7，则△PAE周长的最小值为______.
18.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个结论：①S1+S2=；②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是 .
三、解答题：本题共10小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
（1）-6+2；
（2）（1-2）2-（2-）（2+）.
20.(本小题5分)
已知：△ABC为锐角三角形，AB=AC.
求作：菱形ABDC.
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴CO= ______.
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形.
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形（______）（填推理的依据）.
21.(本小题4分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：BE=DF．
22.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-x-n交于点A（1，m），分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点.
（1）求m,n的值；
（2）若△BDC的面积是△ABC面积的2倍，直接写出点D的坐标.
23.(本小题4分)
在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图.
（1）在图①中，画一个等腰直角三角形ABC，使其面积为；
（2）在图②中，画一个平行四边形ABDE，使其面积为5（不包括正方形）.
24.(本小题5分)
如图，AD是 ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC=ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．
25.(本小题6分)
为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒；
（2）求线段PQ对应的函数表达式；
（3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间.
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=-x的图象平移得到，且经过点（2，1）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=mx-1（m≠0）的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点（不与A，D重合），连接CE，点B关于直线CE的对称点是点F，连接CF，DF，直线CE与直线DF交于点P，连接BF与直线CE交于点Q.
（1）依题意补全图形；
（2）设∠DCE=α，则∠CDF=______，∠EPD=______.
（可用含有α的式子表示）
（3）用等式表示线段PD，PF，CD之间的数量关系，并证明.
（4）当PF=PC时，若DF=2，直接写出BE的值.
28.(本小题7分)
△ABC中，点D是边BC上一点（不与B、C重合），连结AD，若P是AD的中点，则称点P为△ABC中边BC的“有缘点”.其中，若A（x1，y1）、D（x2，y2），则点P的坐标为.
已知A（1，4），B（-3，0），C（2，0）
（1）点、P2（0，2）、P3（1，2）、中，是△ABC中边BC的“有缘点”的有______.
（2）已知△DEF中，D（m,-1），E（m+4，-1），EF⊥DE，∠EDF=45°，点F在x轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在△DEF中边EF的“有缘点”，求m的取值范围；
（3）已知△A1B1C1中，A1（t,0），边A1B1与y轴交于点Q（0，2），边B1C1与x轴交于点M（1，0），点Q、M分别是A1B1、B1C1的中点.若直线y=x-t上存在△A1B1C1三边的“有缘点”，直接写出t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】≥2
12.【答案】＜
13.【答案】
14.【答案】y=-0.1x+20
0≤x≤200

15.【答案】
16.【答案】x≥4
17.【答案】20
18.【答案】①②③
19.【答案】；

20.【答案】解：（1）如图，四边形ABDC为所求作；
（2）BO；一组邻边相等的平行四边形为菱形．
21.【答案】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE=CF，OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
22.【答案】m=2，n=-3；
（-1，4）（7，-4）
23.【答案】如图，等腰直角三角形ABC即为所求；
如图，四边形ABDE为平行四边形．

24.【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB=ED，
∵DC=ED，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=4，AB=2
∴DE=CD=AB=2，AD=BC=4，AC=BD，AO=OC，BO=DO，
∴OD=OC，
∵OF⊥CD，
∴DF=CF=CD==1，
∴OF=BC==2，EF=DE+DF=2+1=3，
∴OE===．
25.【答案】6，3；
y=6x-48（14≤x≤20）；
17秒．
26.【答案】y=-x+3；
-1≤m＜0或0＜m≤1
27.【答案】由题意，补全图形如图：
α-45°，45°；
PD2+PF2=2CD2，证明如下：连接PB，BD，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2=2CD2，
∵点B关于直线CE的对称点是点F，
∴PB=PF，
∴∠PBF=∠PFB，
由 可知：∠PFB=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴∠BPF=180°-45°-45°=90°，
∴BP2+PD2=BD2，
∴PD2+PF2=2CD2；

28.【答案】P2，P3；
-3＜m＜-1；
t的取值范围为t＞-2且t≠1
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