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广东省广州市铁一中学2025-2026学年九年级数学上学期10月月考试卷（周练二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
4．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣5
5．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
6．某国货洗衣液厂十月份生产洗衣液50万桶，十二月份生产洗衣液60.5万桶．设该厂十一月份和十二月份平均每月的洗衣液产量的增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的最小值为（　　）
A．2 B．0 C． D．
8．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．，且
C．，且 D．
9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．的图像如图所示，对称轴，若关于的(为实数)在的范围内有解，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线的对称轴是 .
12．一元二次方程的根 ．
13．二次函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系是 ．
14．已知一元二次方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，则这个等腰三角形的周长为 .
15．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．
16．已知抛物线；现给出以下结论：
抛物线的开口向下；
抛物线的顶点在的图象上；
当时，随的增大而增大，则；
该抛物线上有两点，，若，，则．
其中正确的是 写出所有正确结论的序号
三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．证明不论取何值，关于的方程总有两个不等的实数根.
19．二次函数中与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 15 0 …
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)直接写出、、之间的大小关系．（用“”连接）
20．如图是一张面积为的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是．若印刷部分（矩形）的一边为，印刷面积为，求矩形宣传广告单的长和宽．
21．如图所示，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？最大面积是多少？
22．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数
(1)写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种科技产品的销售单价不能高于元，如果厂商要获得每月不低于万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
23．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点．连接，以为边，点O为中心作菱形，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点在线段上运动时，试探究：当为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《 广东省广州市铁一中学2025-2026学年九年级数学上学期10月月考试卷（周练二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C A D C B C
1．B
【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：第一，第三个是中心对称图形，也是轴对称图形．故选B．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
2．C
【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件．
【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除；
选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除；
选项C：，展开得：，
符合，且为整式函数，因此一定是二次函数；
选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式．把各点坐标分别代入关系式检验即可．
【详解】解：A、当时，，故A不符合题意；
B、当时，，故B符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，，故D不符合题意．
故选：B．
4．D
【分析】直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得出选项．
【详解】解：将二次函数的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式为：
，
即，
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次函数的平移规律，上下平移，直接在函数解析式的后面上加下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位，理解运用平移规律是解题关键．
5．C
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【详解】∵，，，
∴，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程应用中数量平均变化率问题，原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是，增长用“+”，下降用“－”．据此列方程求解．
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
7．D
【分析】将二次函数的表达式通过配方，改写为顶点式，即可进行解答．
【详解】解：二次函数，
∴当时，函数有最小值，最小值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式改写为顶点式．
8．C
【分析】讨论m与0的关系，当m≠0时，得到判别式与系数的关系．
【详解】①m=0时，方程为x=0，不符合已知条件；
②m≠0时,方程有两个不相等的实根等价于△>0，
即,
解得，且；
故选C.
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系．
9．B
【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．
【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，
故①错误；
②函数的对称轴是，开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，
故②正确；
③当时有一根和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，则，
故③错误；
④抛物线的顶点为，
∴方程没有实数根时，
∴抛物线顶点在x轴下方
，
故④正确，
所以正确的选项有②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．C
【分析】根据二次函数解析式求出最小值，再求出x=4时的函数值，然后根据二次函数的增减性写出t的取值范围即可．
【详解】解：∵对称轴为直线x=1，
∴，
解得：，
∴；
当x=1时，，此时y为最小值；
当x=4时，，
∴在-1＜x＜4的范围内有：-1≤y＜8，
∵x2+bx-t=0可变形为x2+bx=t，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响．
11．直线x=0或y轴
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴．故答案为y轴．
12．，
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和步骤．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可得图象开口向上，对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，则关于直线的对称点为，由，求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，
关于直线的对称点为，
∵，
∴，
故答案为：．
14．20或22/22或20
【分析】先求解方程的两根，然后分两种情况结合三角形的三边关系解答即可.
【详解】解：方程的两根为，
∵方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，
∴当腰为8，底为6时，可以构成三角形，此时这个三角形的周长是，
当腰为6，底为8时，也可以构成三角形，此时这个三角形的周长是；
故答案为：20或22.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和等腰三角形的定义，正确解得方程的根、分情况解答是解题的关键.
15．
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解．
【详解】解：依题意得：
当，，
当水位上升 时，则此时，
则：，
解得：或，
∴水面宽为：，
故答案为：．
16．
【分析】利用二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：，
抛物线的开口方向向上，
的结论不正确；
，
顶点坐标为，
抛物线的顶点在的图象上，
的结论正确；
当时，随的增大而增大，
，
的结论不正确；
，
点，可能均在抛物线的对称轴的右侧，
抛物线的开口方向向上，在抛物线的对称轴的右侧的图象上随的增大而增大，
．
的结论不正确，
综上，正确的是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)，；
(2)，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
则或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
，
解得：，．
18．证明见解析.
【分析】把方程变为一元二次方程的一般式，计算出△，然后证明△＞0即可．
【详解】证明：方程化为一般式为：
，，
∵不论m取何值，
∴不论m取何值时，关于的方程总有两个不等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，比较二次函数值的大小，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴为直线，且当时，y随x增大而减小，据此可得答案．
【详解】（1）解：把点，点代入中得：，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小，
∵，
∴．
20．矩形宣传广告单的长为，宽为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．根据印刷面积为列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，印刷部分的另一边为．
则有 ，即，
∴，
即，
∴，
得或．
所以矩形宣传广告单的长为，宽为．
21．（1）；（2）存在，当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）设点的坐标为，连结、、．根据对称性求出点B的坐标，根据得到二次函数关系式，最后配方求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过点，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴可设抛物线为．
∵抛物线过点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为，即．
（2）存在，设点的坐标为，连结、、．
∵点A、关于直线对称，且
∴．
∴
．
∵
∴当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形面积公式以及二次函数的最值求法，根据图形得出由此得出二次函数关系式是解答此题的关键．
22．(1)
(2)当销售单价定为24元或44元时，厂商每月能获得万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
(3)每月最低制造成本为648万元．
【分析】（1）根据每月的利润，再把代入即可求出与之间的函数解析式，
（2）把代入，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；
（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于312万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题．
【详解】（1）解：，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得：，则有，
解这个方程得，，
所以，销售单价定为24元或44元，
将配方，得，
∵-2＜0，
∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）解：结合（2）及函数的图象（如图所示）可知，
当时，
又由限价32元，得，
根据一次函数的性质，得中随的增大而减小，
当时，每月制造成本最低．最低成本是（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第（3）小题关键是确定的取值范围．
23．(1)
(2)存在，，或，或，或
(3)当时，四边形是平行四边形，见解析
【分析】（1）抛物线与轴交于，两点，故抛物线的表达式为：，即，解得：，即可求解；
（2）分、、三种情况，分别求解即可；
（3）直线的解析式为；如图，当时，四边形是平行四边形，则，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的表达式为：，
即，解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）设点的坐标为，
则，，，
①当时，，解得：；
②当时，同理可得：；
③当时，同理可得：（舍去，
故存在点的坐标为：，或，或，或；
（3），
由菱形的对称性可知，点的坐标为，
设直线的解析式为，又，
解得，
直线的解析式为；
则点的坐标为，
点的坐标为，
如图，当时，四边形是平行四边形，
，
解得（不合题意舍去），，
当时，四边形是平行四边形．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质、一次函数性质、待定系数法、两点间距离公式、平行四边形性质、等腰三角形的性质等，解决此题的关键是注意分类讨论．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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