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2025-2026学年湖南省高三（上）段考数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |4 < 2 < 26}， = {2,4,5,6,7}，则 ∩ =( )
A. {5} B. {4,5} C. {2,4,5} D. {4,5,6}
2.已知圆 ： 2 + 2 = 2( > 0)，则“点 (1,0)在圆 外”是“点 (1,1)在圆 外”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设复数 = 1 + ， = + ，其中 ， ∈ ，若 是虚数，则( )
A. + = 0 B. + ≠ 0 C. = 0 D. ≠ 0
4.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ， ∩ = ，则 与 相交
5.在△ 中， = 13 , = = 2，则 的长为( )
A. 83 B. 6 C. 3 D.
4
3
6 .已知圆锥和圆柱的底面半径均为 ，高均为 ，若圆锥与圆柱的表面积之比为 4：7，则 =( )
A. 3 5 4 35 B. 3 C. 3 D. 4
7.债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券现值计算公

式为 = =1 (1+ ) + (1+ ) ，其中 为债券现值， 表示债券的期限(单位：年)， 为第 年的利息，
为 年后的债券面值， 为贴现率.若 = 72， = 0.05， = 2.1 ，则 5 =( )4
A. 1 B. 1 2 12 3 C. 3 D. 4
8.已知 + 2 = 2，则 cos( + )的最大值为( )
A. 18 B.
1
4 C.
1
6 D.
1
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0，圆 ： 2 + 2 = 2，直线 1： + + 2 = 0， 2：2 + + 1 = 0，则( )
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A. 1与 2不可能垂直
B.若 = 1，则 1与圆 相切
C. = 2若 2 ，则 2与圆 相交
D.若圆 与圆( 2 )2 + 2 = 4 无交点，则 > 2
10.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) 2 = ( ) + ( )， (1) = 0，则( )
A. (2) = 2 B. ( 12 ) =
1
4
C. ( + 1)是偶函数 D. ( ) 2是奇函数
11.在直角坐标系 中，曲线 ：( 2 + 2)( 2 + 2 4) = sin2 cos2 ，则下列结论正确的是( )
A. 与 轴无交点 B. 关于直线 = 对称
C.若点 在 上，则| | < 5 D. = 5若曲线 与 有公共点，则 < 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知平面向量 = (2, 1)、 = (6, )，若 ⊥ ( )，则实数 =______．
13.记数列{ }的前 项之积为 ，已知 +1 = 2 ，且 1 = 1，则 6 =______．
14.已知函数 ( ) = 3 2 + 2 的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数 =______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( ) = 3cos( + )( > 0) 2 已知函数 6 的最小正周期为 3．
(1)求 ( )图象的对称轴方程；
(2)在△ 中， = 8，△ 的周长为 4 ，且 ( 3 ) = 0，求 ．
16.(本小题 15 分)
在数列{ }中， 1 =
1 , +1 2 2 = 2 +1 +
1
22 +1．
(1)求{ }的通项公式；
2
(2)若 = ，求数列| |的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知圆 ：( )2 + 2 = 2( > 4, > 0)，过圆 内的点 (4,0)的弦长的最大值为 4，最小值为 2 3．
(1)求圆 的方程．
(2) | |点 是 轴上异于点 的一个点，且对于圆 上任意一点 , | |为定值．
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( )求点 的坐标；
2 2
( )点 (7,4) | | | |，求 | |+2| | + | |的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2， ∈ ．
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)若 ( )有两个极值点，求 的取值范围；
(3)若 > 0，实数 ， 满足 ′( ) = ( + 1) ( )， ′( ) = ( ) ( 1)，试比较 ′( )和 ′( )
的大小．
19.(本小题 17 分)
如图，将△ ，△ ，△ ，△ 四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ，其中 = ，
= ， = = = .连接 ， ，过点 作平面 ，满足 // ， // ．
(1)证明： ⊥ ．
(2)若 = 2, = = 1，且 = ．
( )求 到平面 的距离与 到平面 的距离的平方和；
( )求平面 与平面 夹角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13.3121
14.3
15.(1)因为函数 ( ) = 3cos( + )( > 0) 2 6 的最小正周期为 3，
2 2
可得 = 3，故 = 3，
故 ( ) = 3cos(3 + 6 )，
令 3 + 6 = ( ∈ )，解得 =

18 + 3， ∈ ，
可得 ( ) 图象的对称轴方程为 = 18 + 3， ∈ ；
(2) 由 ( 3 ) = 0 得 cos( +

6 ) = 0，
又 ∈ (0, ) ，所以 + 6 = 2，即 = 3．
因为 + + = 4 ，所以 + 8 = 3 ，
设 = ( > 0)，则 = 3 8，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 × × ，
即(3 8)2 = 2 + 64 8 ，化简得 2 5 = 0，
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解得 = 5，即 = 5，
故 BC= 3 × 5 8 = 7．
16.(1)由数列{ }中， 1 =
1 , +1 2 2 = 2 +1 +
1
22 +1，
可得2 +1 +1 2 = 1．
所以数列{2 }是首项和公差均为 1 的等差数列，
所以2 = 1 + ( 1) × 1 =

，所以 = 2 ；
2
(2) = = 2 > 0，可得| | = = 2 ，
所以 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + ( 1) 2 1 + 2 ，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + ( 1) 2 + 2 +1，
两式相减可得 = 2 + 22 + 23 + + 2 1 + 2 2 +1，

即 = 2×(1 2 ) 2 +1 = (1 ) 2 +1 1 2 2，
故 = ( 1) 2 +1 + 2．
17.(1)解：圆 ：( )2 + 2 = 2( > 4, > 0)，过圆 内的点 (4,0)的弦长的最大值为 4，最小值为 2 3．
圆的最长弦为直径，∴ 2 = 4，得 = 2．
最短弦为与直径垂直的弦，由垂径定理可得：2 2 ( 4)2 = 2 3，又 > 4，∴ = 5，
故圆 的方程为( 5)2 + 2 = 4．
2 2 2
(2)解：( )设 ( , )， ( , 0) | | ( ) + ，则| |2 = ( 4)2+ 2，
∵点 在圆 上，∴将 2 = 4 ( 5)2代入上式，
| |2 2= ( ) ( 5)
2+4 = (10 2 ) +
2 21
得| |2 ( 4)2 ( 5)2+4 2 5 ，
∵ ∴ 10 2 = 21
2
该式的值为常数， 2 5 ，解得 = 1( = 4 舍去)，
∴点 的坐标为(1,0)．
| |2( ) 8 20解：由( )可知| |2 = 2 5 = 4，∴ | | = 2| |．
| |2∴ | |
2
+ | | = | |
2 | |2 | | | | | |+| |
| |+2| | 2(| |+| |) + | | = 2 + | | = 2 ，
易知，| | + | | ≥ | | = 5，当点 在线段 上时等号成立，
| |+| | 5 5
故 2 的最小值为2，即原式的最小值为2．
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18.(1)导函数 ′( ) = 2 ，
那么 ′(0) = 1， (0) = 1，
因此切线为 = + 1．
(2)记 ( ) = ′( )，那么导函数 ′( ) = 2 ，
由于函数 ( )有两个极值点，因此 ( )有两个零点．
若 ≤ 0，那么 ′( ) > 0， ( )单调递增，不符合题意．
若 > 0，当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，则当 ∈ ( ∞, 2 )时， ′( ) < 0， ( )
单调递减，
所以 ( ) = ( 2 ) = 2 (1 2 )
又当 →+∞或 → ∞时，都有 ( ) →+∞，
因此只需 2 (1 2 ) < 0，即 1 2 < 0，解得 > 2，
∈ ( 即 2 , + ∞)．
(3)根据 ′( ) = ( + 1) ( )，
得 2 = +1 ( + 1)2 + 2，整理得 = ln 2．
根据 ′( ) = ( ) ( 1)，
得 2 = 2 1 + ( 1)2，解得 = 1 + ．
所以 ′( ) ′( ) = 2 2

2 + 2 (1 + )
1
= [ 2 ( 2) + 2 ( 2)]
1 2
设函数 ( ) = + 2 ，则 ′( ) =
( 1)
2 ≤ 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，所以 ( 2) > (1) = 0，
又 > 0，所以 ′( ) ′( ) > 0，即 ′( ) > ′( )
19.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ．
因为 = ， = ， 为 的中点，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)( )连接 ，因为 = ，所以 ⊥ ，由(1)知 ⊥平面 ，
则 ， ， ， 四点共面．
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结合题意知△ △ ，可得 = ，
在四边形 中， = ， = ，
根据对称性，可知 垂直平分 ．
因为 // ， // ，所以在平面 内存在点 ， ，使得 // ， // ，
则 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
即得 ⊥平面
如图，以 为坐标原点， , , 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设 = = 2 ，直线 到平面 的距离为 1， 到平面 的距离为 2，
则 ( , 0, 1)， (0, , 2)，
因为 = 2, = = 1，
2 + 21 = 2,
所以 2 + 22 = 1,
2 2 + ( 1 2)2 = 1,
5+1 5 1 3 5
解得 2 = , 2 21 2 2 = 2 , = 2 ，
故 AC 到平面 的距离与 到平面 的距离的平方和为 21 + 22 = 5．
( )设平面 的法向量为 = ( , , )，而 = ( , 0, 1), = (0, , 2)，
则 ⊥ ，则 = 0
+ 1 = 0
⊥
，即 + = 0， = 0 2
取 = ( 1, 2, )．
设平面 与平面 的夹角为 ，取平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
则 = ( , , )，
3 5
故平面 与平面 夹角的余弦值为 2 ．
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