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第二十二章二次函数单元复习检测卷（一）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（ ）
A． B． C． D．
2．点，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ）
A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2
5．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　）
A． B． C． D．
6．若二次函数的对称轴是直线，则关于x的方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
7．次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ．
10．如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
11．已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ．
12．已知为二次函数．
①若此二次函数图像开口向下，则a值为
②在①条件下，若时，满足，则m的值为
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若该抛物线的顶点为P，求的面积．
14．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程的两个根．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．
15．如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)求该抛物线对应的函数表达式；
(3)根据图象直接写出关于的不等式的解集．
16．2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
16．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
(3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
18．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，判断的形状；
(3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
参考答案
选择题
1—8：CBDCBDAC
二、填空题
9．-4
10．-2
11．
12． 3
三、解答题
13．【解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：∵，
∴顶点，
∴．
14．【解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，
一元二次方程的两个根分别是，；
（2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方，
不等式的解集为；
（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
随的增大而减小的自变量的取值范围是；
（4）解：由图象可知，当时，
方程组有一组解，
方程有两个相等的实数根，
当时，
方程组有两组解，
方程有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根时，．
15．【解】（1）解：抛物线与轴交于点、点，
抛物线的对称轴为直线，
令，得，
．
点与点关于抛物线的对称轴对称，
．
（2）解：将，代入得，
解得：，
；
（3）解：∵，，
由图可得，关于的不等式的解集为．
16．【解】（1）解：设，
把点，分别代入解析式，得
，
解得：，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，
∴自变量x的取值范围是：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得，，
∵，
∴不合题意，舍去，
答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；
（3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为，
答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．
17．【解】（1）解：∵点在抛物线上，
，
∴，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
（2）解：是直角三角形，证明如下：
在中，当时，，
，
∴；
在中，当时，，
解得，，
∴，
，，
∵，，，
，
是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴的周长，
∵点C和点D都是定点，
∴的长为定值，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴．
18．【解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为．
又，
点的坐标为，
代入表达式，得，
解得，
抛物线的表达式为，即；
（2）解：令，则，
解得，
点的坐标为，
，
，
是直角三角形；
（3）解：设直线的表达式为，
将点，点的坐标代入，得：
，
解得，
直线的表达式为；
设，
如图，作轴交于点，则，
，
，
当时，有最大值为．
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