资源简介

1.2有理数及其大小比较
【题型1】有理数的概念 8
【题型2】有理数的分类 10
【题型3】数轴及其画法 11
【题型4】用数轴上的点表示有理数 13
【题型5】数轴上的动点问题 15
【题型6】相反数 17
【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 18
【题型8】绝对值 20
【题型9】绝对值的化简 21
【题型10】绝对值的应用 22
【题型11】有理数的大小比较 24
【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋 桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（　　） A．B．0C．-0.3D．1
【答案】C 【分析】根据正数和负数的意义选出即可． 【解答】解：-0.3属于负数．
故选：C． 2.（2024秋 天峨县期末）下列四个数中是整数的是（　　） A．B．0.25C．D．-2025
【答案】D 【分析】根据有理数各数的特点判断即可得出答案． 【解答】解：A、是分数，不符合题意；
B、0.25是小数，不符合题意；
C、是分数，不符合题意；
D、-2025是整数，符合题意，
故选：D． 【知识点2】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025春 济源期末）陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如表所示，设窑内温度为t℃，t的范围在数轴上表示如图所示，则此时窑内火焰的色调是（　　） 火焰色调温度/℃最初赤色475最初赤色至暗赤475～650暗赤至樱桃红650～750樱桃红至鲜红750～820鲜红至橘黄820～900橘黄至黄色900～1090黄色至浅黄色1090～1320浅黄色至白色1320～1540灰白色1540以上
A．橘黄至黄色B．黄色至浅黄色C．浅黄至白色D．灰白色
【答案】B 【分析】根据数轴和表中数据即可得到结论． 【解答】解：根据数轴可得题意得，窑内温度的范围是1260≤t≤1306，
所以此时窑内火焰的色调是黄色至浅黄色．
故选：B． 【知识点3】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春 新田县期末）的相反数是（　　） A．-B．C．D．
【答案】A 【分析】直接根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：的相反数是-．
故选：A． 【知识点4】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5）B．与-（+0.5）C．-|-0.01|与-（-）D．与0.3
【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【解答】解：A．-（+5）=-5，+（-5）=-5，选项A不符合题意；
B．-（+0.5）=-0.5，与-相等，选项B不符合题意；
C．-|-0.01|=-0.01，-（-）==0.01，-0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意；
D．-与0.3不是相反数，选项D不符合题意；
故选：C． 2.（2025 瑶海区二模）2025的绝对值是（　　） A．2025B．-2025C．D．
【答案】A 【分析】根据绝对值的定义进行求解即可． 【解答】解：∵|2025|=2025，
∴2025的绝对值是2025，
故选：A． 【知识点5】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋 历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（　　） A．5B．1C．3D．-5
【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+3|+|b-2|=0，
∴a+3=0，b-2=0，
∴a=-3，b=2，
∴a-b=-5．
故选：D． 【知识点6】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b． 1.（2024秋 新田县期末）下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A．B．0＞|-10|C．|-7|＞|+9|D．-π＞-3
【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A、∵=，=-，＞-，∴＞，则该选项正确，符合题意；
B、∵|-10|=10，0＜10，∴0＜|-10|，则该选项错误，不符合题意；
C、∵|-7|=7，|+9|=9，7＜9，∴|-7|＜|+9|，则该选项错误，不符合题意；
D、∵|-π|=π，|-3|=3，π＞3，∴-π＜-3，则该选项错误，不符合题意；
故选：A． 2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5B．0C．3D．1
【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-1.5＜0＜1＜3，
∴最小的数是：-1.5．
故选：A．
【题型1】有理数的概念
【典型例题】在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】0，7是非负整数，共2个.
故选：C．
【举一反三1】下列说法：
①0是整数；②－2是负有理数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤所有小数一定是有理数．
其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【举一反三2】下面的说法中，正确的是（ ）
A.正有理数和负有理数统称有理数
B.整数和小数统称有理数
C.整数和分数统称有理数
D.整数、零和分数统称有理数
【答案】C
【解析】A.正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误；
B.无限不循环小数是无理数，故本选项错误；
C.整数和分数统称为有理数，故本选项正确；
D.整数包括零，故本选项错误；
故选C．
【举一反三3】写出一个非正有理数________________.
【答案】答案不唯一，如：0或－0.5等.(只要是负有理数或0即可)
【解析】根据题意，0或其他负有理数，答案不唯一.
【举一反三4】　 　 称为有理数．
【答案】可以写成分数形式的数
【解析】可以写成分数形式的数称为有理数．
【举一反三5】指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，.
【答案】解：正有理数：13，4.3，8.5%，，20，；其中正整数有13，20.
负有理数：-，-30，-12%，-7.5，-60；基中负整数有-30，-60.
【举一反三6】指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数：
-15，+6，-2，-，1，，0，3，0.63，-.
【答案】解：正有理数：+6，1，，3，0.63.
负有理数：-15，-2，-，-.
整数：-15，+6，-2，1，0.
【题型2】有理数的分类
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.一定大于0
B.一定是负数
C.一个数不是正数就是负数
D.分数都是有理数
【答案】D
【解析】A．一定大于或等于0，原说法错误，不符合题意；
B．可以是负数或正数或0，原说法错误，不符合题意；
C． 0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意；
D．分数都是有理数，原说法正确，符合题意，
故选：D．
【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数不是正数就是负数
B.一定是正数
C.两个数的差一定小于被减数
D.如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数
【答案】D
【解析】一个有理数不是正数就是负数或0，故A不符合题意；
是非负数，故B不符合题意；
∵，
∴两个数的差一定小于被减数是错误的，故C不符合题意；
如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数，描述正确，故D符合题意；
故选D.
【举一反三2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：0.618，－3.14，－4，－35，13，6%，0，32.
(1)正整数：{______________…}；
(2)整数：{______________…}.
【答案】32；－4，0，32
【解析】(1)正整数：{32，…}；(2)整数：{－4，0，32，…}.
【举一反三3】把下列各数填在相应的集合内：
-8，+5，0.06，-5.15，0，-5%，π，1.5.
（1）整数集合：{　 　…}；
（2）负有理数集合：{　 　…}；
（3）非负有理数集合：{　 　…}；
（4）有理数集合：{　 　…}．
【答案】解：（1）整数集合：{﹣8，+5，0，…}．
（2）负有理数集合：{-8，﹣5.15，，﹣5%，…}．
（3）非负数集合：{+5，0.06，0，π，1.5，…}．
（4）有理数集合：{﹣8，+5，0.06，﹣5.15，0，，﹣5%，1.5，…}．
【题型3】数轴及其画法
【典型例题】下列表示数轴正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A中的单位长度不一致，不正确；
B中负数排列错误，应从原点向左依次排列，故B错；
C是正确的数轴，故此选项正确；
D中正负数标颠倒，也不正确．
故选：C．
【举一反三1】如图各图中，表示的数轴正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图各图中，表示的数轴正确的是.
故选：C．
【举一反三2】下列图形中，属于数轴的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是数轴，故此选项正确；B、没有单位长度，不是数轴，故此选项错误；C、没有正方向，不是数轴，故此选项错误；D、没有原点、单位长度，不是数轴，故此选项错误.
【举一反三3】下列图中为数轴是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、没有原点，故A错误；B、单位长度标在数轴上方，故B错误；C、符合数轴的三要素，故C正确；D、没有正方向，故D错误.
【举一反三4】下列各图中，表示数轴正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为含有原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，且A选项中的没有正方向，故A选项错误；
B选项中的是符合要求的数轴，故B选项正确；
C选项中的单位长度不一致，故C选项错误；
D选项中的负方向的刻度标错，故D选项错误.
故选：B．
【题型4】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为﹣5，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为（　　）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【答案】B
【解析】表示-5的点到原点距离是5个单位长度；表示3的点到原点的距离是3个单位长度，
因为点A和点B在原点两侧，所以线段AB=8，所以AC=BC=4，
由点B表示的数可知，原点在点C的右侧一个单位长度处，所以点C表示的数为-1.
故选：B．
【举一反三1】下列说法错误的是(　　)
A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B.数轴上原点表示的数是0
C.数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是3
D.数轴上表示－1的点在原点左侧
【答案】C
【解析】A、所有有理数都可用数轴上的点表示，正确，与要求不符；
B、数轴上原点表示的数是0，正确，与要求不符；
C、数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是6，故C错误，与要求相符合；
D、数轴上表示－1的点在原点左侧，正确，与要求不符．
【举一反三2】如图所示数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-2，那么点B表示的数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】点在点的右侧距离点A点4个单位长度，即B点表示的数比-2大4.
点表示的数为：，
故选C．
【举一反三3】数轴上如果点A表示数，那么点B表示的数为 　　．
【答案】
【解析】设一个小格的长度为x，
1﹣＝2x，
x＝，
+5x＝+＝．
点B表示的数是．
【举一反三4】下列数线上，A点所表示的数是 　　，B点所表示的数是 　　．
【答案】﹣24，
【解析】由左边数轴可知，每一个格表示36÷3＝12，12×2＝24，在0的左侧表示的数是负数，因此点A就用﹣24表示；
右边数轴中每一格表示，点B在0的右侧，并占1格，就是．
【举一反三5】（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数；
（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：﹣，4．
【答案】解：（1）由数轴可得，点A，B，C，D表示的数分别是：﹣3，﹣1.5，0，2.
（2）先画出数轴，表示如图所示.
【题型5】数轴上的动点问题
【典型例题】点A为数轴上表示﹣5的点，将点A在数轴上平移2个单位长度到点B，则点B所表示的数为（　　）
A.3 B.﹣3 C.﹣3或﹣7 D.﹣3或7
【答案】C
【解析】∵点A为数轴上表示﹣5的点，
∴将点A在数轴上向右平移2个单位长度到﹣3，将点A在数轴上向左平移2个单位长度到﹣7，
∴点B所表示的数为﹣3或﹣7.
故选：C．
【举一反三1】A为数轴上表示﹣2的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（　　）
A.﹣7 B.﹣3或7 C.﹣7或3 D.3
【答案】C
【解析】向左移动5个单位长度对应的点表示﹣7，向右移动5个单位长度对应的点表示3.
故选：C．
【举一反三2】数轴上，点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣9 D.﹣1或﹣9
【答案】D
【解析】点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，
向左移动4个单位，则点B表示的数是﹣9，
向右移动4个单位，则点B表示的数是﹣1．
故选：D．
【举一反三3】数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 　 　．
【答案】1
【解析】∵数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，∴点A表示的数是1.
【举一反三4】某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
(1)如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(一格表示50米)．
(2)聪聪家与刚刚家相距多远？
【答案】解：(1)如图所示.
(2)150＋200＝350(米)，所以聪聪家与刚刚家相距350米.
【举一反三5】李老师从学校出发，向东走了3.5千米到了图书馆，又向东继续走了1千米到了超市，然后向西走了8.5千米到了博物馆，又继续向西走了1.5千米到了动物园，最后又回到学校．以1厘米表示实际距离1千米，画出数轴，结合数轴回答下列问题：
(1)博物馆离图书馆多远？
(2)李老师共走了多少千米？
【答案】解：(1)如图，
博物馆离图书馆：4＋3.5＝7.5千米．
答：博物馆离图书馆7.5千米.
(2)3.5＋1＋8.5＋1.5＋5.5＝20千米．
答：李老师共走了20千米．
【题型6】相反数
【典型例题】﹣2024的相反数是（　　）
A.﹣2024 B.2024 C. D.﹣
【答案】B
【解析】﹣2024的相反数是2024.
故选：B．
【举一反三1】下列两个数互为相反数的是（　　）
A.和0.2 B.3和 C.5和﹣5 D.﹣2.5和
【答案】C
【解析】A、绝对值不相等不是相反数，故A不符合题意；
B、只有符号不同的数互为相反数，故B不符合题意；
C、只有符号不同的数互为相反数，故C符合题意；
D、绝对值不相等不是相反数，故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三2】－2017的相反数是(　　)
A.2017 B.－2017 C. D.－
【答案】A
【解析】－2017的相反数是2017.
【举一反三3】- 2023 的相反数是 ．
【答案】2023
【解析】-2023的相反数是：2023．
故答案为：2023．
【举一反三4】若a＝－10，那么－a＝________________.
【答案】10
【解析】a＝－10，－a＝10．
【举一反三5】把下列两行数中互为相反数的数连起来.
【答案】解：互为相反数的数是：﹣2.5和，0和0，3和﹣3.6，1和﹣1，﹣1.24和1.24，﹣0.2和，325和﹣325．
【举一反三6】如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时,（1）a=-a？（2）-a>a？（3）-a【答案】解：（1）a是一个有理数，如果一个数与它的相反数相等，这个数只能是0，所以当a=0的时候，a=-a.
（2）当有理数a是负数时，那么它的相反数-a就是正数，而所有的正数大于所有的负数，所以当a<0时，-a>a.
（3）当有理数a是正数时，它的相反数-a就是负数，因为负数都小于正数，所以当a>0时，-a【题型7】相反数的应用-多重符号的化简
【典型例题】－[－(－3)]化简后是(　　)
A.－3 B.3 C.±3 D.以上都不对
【答案】A
【解析】－[－(－3)＝－[＋3]＝－3.
【举一反三1】下列各对数中，互为相反数的有(　　)
－1与±(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(－)与＋(＋)，－(＋2)与－(－2).
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
【答案】C
【解析】由相反数的定义可知：＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(＋2)与－(－2)互为相反数，共有4对.
【举一反三2】下列化简，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、，正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A ．
【举一反三3】﹣[﹣（﹣）]＝　 　．
【答案】﹣
【解析】﹣[﹣（﹣）]＝﹣．
【举一反三4】在，，，这四个数中，负数的有 ．
【答案】、
【解析】∵，∴是正数，
∵，∴是正数，
∵，∴是负数，
∵， ∴是负数，
∴在，，，这四个数中，负数的有、，
故答案为：、．
【举一反三5】化简下列各数：（1）﹣（+3.5）；
（2）﹣（﹣11）；
（3）+[﹣（﹣1）]；
（4）﹣[+（﹣5.8）]；
（5）﹣|﹣[+（﹣）]|；
（6）+|﹣[+（﹣20）]|．
【答案】解：（1）﹣（+3.5）＝﹣3.5.
（2）﹣（﹣11）＝11.
（3）+[﹣（﹣1）]＝1.
（4）﹣[+（﹣5.8）]＝5.8.
（5）﹣|﹣[+（﹣）]|＝﹣.
（6）+|﹣[+（﹣20）]|＝20．
【举一反三6】化简：(1)－{＋[－(＋3)]}；(2)－{－[－(－3)}；(3)－[－(－8)].
【答案】解：(1)－{＋[－(＋3)]}＝－{＋[－3]}＝－{－3}＝3.
(2)－{－[－(－3)]}＝－{－[＋3]}＝－{－3}＝3.
(3)－[－(－8)]＝－[＋8]＝－8.
【题型8】绝对值
【典型例题】有理数的绝对值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】||＝．
故选：A．
【举一反三1】若|a|＝|b|，则a与b的关系是(　　)
A.a＝b B.a＝b C.a＝b＝0 D.a＝b或a＝－b
【答案】D
【解析】因为|a|＝|b|，所以a＝±b，即a＝b或a＝－b．
【举一反三2】有下列说法：①平方等于它本身的数是0和；②一定是负数；③绝对值等于它本身的数是0，1；④倒数等于它本身的数是．其中，错误的有 （填写序号）．
【答案】①②③
【解析】①平方等于它本身的数是0和1；故①错误；
②不一定是负数，例如时，；故②错误；
③绝对值等于它本身的数是0和正数；故③错误；
④倒数等于它本身的数是；故④正确；
故答案为：①②③．
【举一反三3】综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）；
（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　．
（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　 　．
【答案】解：（1）|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；|x|＝x﹣0|.
（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝1.
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝4或2．
（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝0或﹣4．
【举一反三4】分别写出-2，-5，7.5的相反数和绝对值.
【答案】解：-2，-5，7.5的相反数分别是2，5，-7.5；-2，-5，7.5的绝对值分别是2，5，7.5.
【题型9】绝对值的化简
【典型例题】对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（ ）
A.﹣2 B.﹣6 C.0 D.2
【答案】B
【解析】∵a※b=|a|-|b|-|a-b|，
∴2※（-3）
=|2|-|-3|-|2-（-3）|
=2-3-|2+3|
=2-3-5
=-6，
故选：B．
【举一反三1】下列各组数中，不相等的一组是(　　)
A.－(＋7)，－|－7| B.－(＋7)，－|＋7| C.＋(－7)，－(＋7) D.＋(＋7)，－|－7|
【答案】D
【解析】＋(＋7)＝7，－|－7|＝－7.
【举一反三2】计算：﹣[﹣（+2）]＝　 　，﹣|﹣2|＝　 　．
【答案】2；﹣2
【解析】﹣[﹣（+2）]＝﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2．
【举一反三3】﹣（﹣4）＝　 　，﹣|﹣4|＝　 　．
【答案】4，﹣4
【解析】﹣（﹣4）＝4；﹣|﹣4|＝﹣4．
【举一反三4】化简下列各数：
+|-3.5|，-|+|，-|﹣11|，|+（﹣15）|，|﹣（﹣7）|，|﹣（+9）|.
【答案】解：+|-3.5|=3.5，-|+|=-，-|﹣11|=-11，|+（﹣15）|=15，|﹣（﹣7）|=7，|﹣（+9）|=9.
【题型10】绝对值的应用
【典型例题】排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+20，②号+15，③号﹣3，④号﹣14，那么质量最接近标准的排球是（　　）
A.①号 B.②号 C.③号 D.④号
【答案】C
【解析】各数的绝对值分别为20，15，3，14，
∵20＞15＞14＞3，∴质量最接近标准的排球是③号.
故选：C．
【举一反三1】若，则（ ）
A.1 B. C.3 D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(g)如表．通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球是__________号．
【答案】3
【解析】因为|0.2|＞|＋0.15|＞|0.1|＝|0.1|＞|－0.05|，所以最接近标准质量是3号．
【举一反三3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求“零件的长度可以有0.2厘米的误差”．现抽查5个零件，检查数据如下(超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记为负数)：
从表中可以看出，符合质量要求的是__________，它们中质量最好的是___________.
【答案】③④；③
【解析】由表中的数值，计算它们的绝对值可得符合质量要求的是③④，它们中质量最好的是③.
【举一反三4】某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6.
若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【答案】解：(|15|＋|－2|＋5＋|－1|＋|－10|＋|－3|＋|－2|＋|12|＋|4|＋|－5|＋|6|)×3＝70×3＝210(升)．
小组从出发到收工耗油210升，因为180升＜210升，所以收工前需要中途加油，
所以应加：210－180＝30(升).
答：收工前需要中途加油，应加30升.
【题型11】有理数的大小比较
【典型例题】已知有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由数轴可知：
且,
，,
故选B．
【举一反三1】下列数据中，是大于﹣1且小于0的数是（　　）
A.﹣3 B.3 C. D.
【答案】D
【解析】∵﹣3＜﹣1，3＞0，＞0，﹣1＜﹣＜0，∴所给的数据中，是大于﹣1且小于0的数是﹣．
故选：D．
【举一反三2】比较大小：－3 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】根据正数大于负数，所以-3<2，
故答案为：＜．
【举一反三3】将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列．(用“”号连接起来)
，，，．
【答案】解：，，,
在数轴上表示各数如下：
将各数排列为：．1.2有理数及其大小比较
【题型1】有理数的概念 6
【题型2】有理数的分类 7
【题型3】数轴及其画法 7
【题型4】用数轴上的点表示有理数 8
【题型5】数轴上的动点问题 9
【题型6】相反数 10
【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 11
【题型8】绝对值 11
【题型9】绝对值的化简 12
【题型10】绝对值的应用 12
【题型11】有理数的大小比较 13
【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋 桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（　　） A．B．0C．-0.3D．1
2.（2024秋 天峨县期末）下列四个数中是整数的是（　　） A．B．0.25C．D．-2025
【知识点2】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025春 济源期末）陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如表所示，设窑内温度为t℃，t的范围在数轴上表示如图所示，则此时窑内火焰的色调是（　　） 火焰色调温度/℃最初赤色475最初赤色至暗赤475～650暗赤至樱桃红650～750樱桃红至鲜红750～820鲜红至橘黄820～900橘黄至黄色900～1090黄色至浅黄色1090～1320浅黄色至白色1320～1540灰白色1540以上
A．橘黄至黄色B．黄色至浅黄色C．浅黄至白色D．灰白色
【知识点3】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春 新田县期末）的相反数是（　　） A．-B．C．D．
【知识点4】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5）B．与-（+0.5）C．-|-0.01|与-（-）D．与0.3
2.（2025 瑶海区二模）2025的绝对值是（　　） A．2025B．-2025C．D．
【知识点5】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋 历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（　　） A．5B．1C．3D．-5
【知识点6】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b． 1.（2024秋 新田县期末）下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A．B．0＞|-10|C．|-7|＞|+9|D．-π＞-3
2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5B．0C．3D．1
【题型1】有理数的概念
【典型例题】在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】下列说法：
①0是整数；②－2是负有理数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤所有小数一定是有理数．
其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】下面的说法中，正确的是（ ）
A.正有理数和负有理数统称有理数
B.整数和小数统称有理数
C.整数和分数统称有理数
D.整数、零和分数统称有理数
【举一反三3】写出一个非正有理数________________.
【举一反三4】　 　 称为有理数．
【举一反三5】指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，.
【举一反三6】指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数：
-15，+6，-2，-，1，，0，3，0.63，-.
【题型2】有理数的分类
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.一定大于0
B.一定是负数
C.一个数不是正数就是负数
D.分数都是有理数
【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数不是正数就是负数
B.一定是正数
C.两个数的差一定小于被减数
D.如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数
【举一反三2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：0.618，－3.14，－4，－35，13，6%，0，32.
(1)正整数：{______________…}；
(2)整数：{______________…}.
【举一反三3】把下列各数填在相应的集合内：
-8，+5，0.06，-5.15，0，-5%，π，1.5.
（1）整数集合：{　 　…}；
（2）负有理数集合：{　 　…}；
（3）非负有理数集合：{　 　…}；
（4）有理数集合：{　 　…}．
【题型3】数轴及其画法
【典型例题】下列表示数轴正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图各图中，表示的数轴正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列图形中，属于数轴的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】下列图中为数轴是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三4】下列各图中，表示数轴正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【题型4】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为﹣5，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为（　　）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【举一反三1】下列说法错误的是(　　)
A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B.数轴上原点表示的数是0
C.数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是3
D.数轴上表示－1的点在原点左侧
【举一反三2】如图所示数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-2，那么点B表示的数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三3】数轴上如果点A表示数，那么点B表示的数为 　　．
【举一反三4】下列数线上，A点所表示的数是 　　，B点所表示的数是 　　．
【举一反三5】（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数；
（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：﹣，4．
【题型5】数轴上的动点问题
【典型例题】点A为数轴上表示﹣5的点，将点A在数轴上平移2个单位长度到点B，则点B所表示的数为（　　）
A.3 B.﹣3 C.﹣3或﹣7 D.﹣3或7
【举一反三1】A为数轴上表示﹣2的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（　　）
A.﹣7 B.﹣3或7 C.﹣7或3 D.3
【举一反三2】数轴上，点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣9 D.﹣1或﹣9
【举一反三3】数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 　 　．
【举一反三4】某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
(1)如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(一格表示50米)．
(2)聪聪家与刚刚家相距多远？
【举一反三5】李老师从学校出发，向东走了3.5千米到了图书馆，又向东继续走了1千米到了超市，然后向西走了8.5千米到了博物馆，又继续向西走了1.5千米到了动物园，最后又回到学校．以1厘米表示实际距离1千米，画出数轴，结合数轴回答下列问题：
(1)博物馆离图书馆多远？
(2)李老师共走了多少千米？
【题型6】相反数
【典型例题】﹣2024的相反数是（　　）
A.﹣2024 B.2024 C. D.﹣
【举一反三1】下列两个数互为相反数的是（　　）
A.和0.2 B.3和 C.5和﹣5 D.﹣2.5和
【举一反三2】－2017的相反数是(　　)
A.2017 B.－2017 C. D.－
【举一反三3】- 2023 的相反数是 ．
【举一反三4】若a＝－10，那么－a＝________________.
【举一反三5】把下列两行数中互为相反数的数连起来.
【举一反三6】如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时,（1）a=-a？（2）-a>a？（3）-a【题型7】相反数的应用-多重符号的化简
【典型例题】－[－(－3)]化简后是(　　)
A.－3 B.3 C.±3 D.以上都不对
【举一反三1】下列各对数中，互为相反数的有(　　)
－1与±(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(－)与＋(＋)，－(＋2)与－(－2).
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
【举一反三2】下列化简，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】﹣[﹣（﹣）]＝　 　．
【举一反三4】在，，，这四个数中，负数的有 ．
【举一反三5】化简下列各数：（1）﹣（+3.5）；
（2）﹣（﹣11）；
（3）+[﹣（﹣1）]；
（4）﹣[+（﹣5.8）]；
（5）﹣|﹣[+（﹣）]|；
（6）+|﹣[+（﹣20）]|．
【举一反三6】化简：(1)－{＋[－(＋3)]}；(2)－{－[－(－3)}；(3)－[－(－8)].
【题型8】绝对值
【典型例题】有理数的绝对值是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】若|a|＝|b|，则a与b的关系是(　　)
A.a＝b B.a＝b C.a＝b＝0 D.a＝b或a＝－b
【举一反三2】有下列说法：①平方等于它本身的数是0和；②一定是负数；③绝对值等于它本身的数是0，1；④倒数等于它本身的数是．其中，错误的有 （填写序号）．
【举一反三3】综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）；
（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　．
（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　 　．
【举一反三4】分别写出-2，-5，7.5的相反数和绝对值.
【题型9】绝对值的化简
【典型例题】对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（ ）
A.﹣2 B.﹣6 C.0 D.2
【举一反三1】下列各组数中，不相等的一组是(　　)
A.－(＋7)，－|－7| B.－(＋7)，－|＋7| C.＋(－7)，－(＋7) D.＋(＋7)，－|－7|
【举一反三2】计算：﹣[﹣（+2）]＝　 　，﹣|﹣2|＝　 　．
【举一反三3】﹣（﹣4）＝　 　，﹣|﹣4|＝　 　．
【举一反三4】化简下列各数：
+|-3.5|，-|+|，-|﹣11|，|+（﹣15）|，|﹣（﹣7）|，|﹣（+9）|.
【题型10】绝对值的应用
【典型例题】排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+20，②号+15，③号﹣3，④号﹣14，那么质量最接近标准的排球是（　　）
A.①号 B.②号 C.③号 D.④号
【举一反三1】若，则（ ）
A.1 B. C.3 D.
【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(g)如表．通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球是__________号．
【举一反三3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求“零件的长度可以有0.2厘米的误差”．现抽查5个零件，检查数据如下(超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记为负数)：
从表中可以看出，符合质量要求的是__________，它们中质量最好的是___________.
【举一反三4】某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6.
若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【题型11】有理数的大小比较
【典型例题】已知有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列数据中，是大于﹣1且小于0的数是（　　）
A.﹣3 B.3 C. D.
【举一反三2】比较大小：－3 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【举一反三3】将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列．(用“”号连接起来)
，，，．

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