资源简介

2.3有理数的乘方
【题型1】有理数的乘方 6
【题型2】有理数的混合运算 7
【题型3】有理数混合运算的实际应用 9
【题型4】新定义问题与规律探究问题 12
【题型5】科学记数法 14
【题型6】近似数 15
【知识点1】有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 1.（2025 睢宁县三模）下列各数中，是负数的是（　　） A．-（-2）B．（-2）2C．|-2|D．-2
【答案】D． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．-（-2）=2＞0，是正数，故A选项错误；
B．（-2）2=4＞0，是正数，故B选项错误；
C．|-2|=2＞0，是正数，故C选项错误；
D．-2＜0，是负数，故D选项正确；
故选：D． 2.（2025春 道县期中）下列四个数中，结果是负数的是（　　） A．-5B．|-5|C．-（-5）D．（-5）2
【答案】A． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．-5＜0，是负数，符合题意；
B．|-5|=5＞0，是正数，不符合题意；
C．-（-5）=5＞0，是正数，不符合题意；
D．（-5）2=25＞0，是正数，不符合题意；
故选：A． 【知识点2】非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024 洛龙区校级开学）若x,y为有理数，且（x+2）2+|y-3|=0，则的值等于（　　） A．B．C．D．
【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（x+2）2+|y-3|=0，
∴x+2=0，y-3=0，
∴x=-2，y=3，
∴==．
故选：A． 【知识点3】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 绿园区一模）若2□（-2）=0，则“□”中应填写的运算符号是（　　） A．+B．-C．×D．÷
【答案】A 【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：2+（-2）=0，
2-（-2）=4≠0，
2×（-2）=-4≠0，
2÷（-2）=-1≠0．
故选：A． 【知识点4】近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 1.（2024秋 桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（　　） A．3.8B．3.9C．4.0D．3.85
【答案】B 【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【解答】解：将3.8541精确到十分位后的结果是3.9．
故选：B． 2.（2024秋 安阳期末）把19547精确到千位的近似数是（　　） A．1.95×103B．1.95×104C．2.0×104D．1.9×104
【答案】C 【分析】先用科学记数法表示数，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【解答】解：19547≈2.0×104（精确到千位）．
故选：C． 【知识点5】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 1.（2025 雨城区校级模拟）2024年，在市委市政府的领导下，雅安高质量发展迈出坚实步伐．根据地区生产总值统一核算结果，2024年雅安实现地区生产总值约1083亿元．1083亿用科学记数法表示为（　　） A．1.083×109B．1.083×1010C．1.083×1011D．1.083×1012
【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1083亿=108300000000=1.083×1011．
故选：C．
【题型1】有理数的乘方
【典型例题】下列说法中，正确的是(　　)
A.若a≠b，则a2≠b2 B.若a2≠b2，则a≠b C.若a＞b，则a2＞b2 D.若a2＝b2，则a＝b
【答案】B
【解析】A、若a≠b，则a2≠b2错误，故本选项错误；
B、若a2≠b2，则a≠b正确，故本选项正确；
C、若a＞b，则a2＞b2错误，例如a＝1，b＝－3，故本选项错误；
D、若a2＝b2，则a＝b或a＝－b，故本选项错误．
【举一反三1】下列各组数中相等的是（　　）
A.（﹣2）2与﹣22 B.﹣13与|﹣1|3 C.与 D.（﹣2）3与﹣|﹣23|
【答案】D
【解析】A、（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，选项不符合题意；
B、﹣13＝﹣1，|﹣1|3＝1，选项不符合题意；
C、，，选项不符合题意；
D、（﹣2）3＝﹣8，﹣|﹣23|＝﹣8，选项符合题意.
故选：D．
【举一反三2】下列各组数中，相等的一组是(　　)
A.(－3)2与－32 B.|－3|2与－32 C.(－3)3与－33 D.|－3|3与－33
【答案】C
【解析】A、(－3)2＝9，－32＝－9，不相等；
B、|－3|2＝9，－32＝－9，不相等；
C、(－3)3＝－27，－33＝－27，相等；
D、|－3|3＝27，－33＝－27，不相等.
【举一反三3】下列各式中：①﹣（﹣5）；②﹣|﹣5|；③（﹣5）2；④﹣52；其结果为正数的 　 　（填序号）．
【答案】①③
【解析】①﹣（﹣5）＝5＞0，是正数；②﹣|﹣5|＝5＜0，是负数；③（﹣5）2＝25＞0，是正数；④﹣52＝﹣25＜0，是负数；其中结果是正数的有①③．
【举一反三4】（1）(-7)8中底数、指数各是什么？
（2）在(-10)8中，-10叫作什么数？8叫作什么数？(-10)8是正数还是负数？
【答案】解：（1）(-7)8中底数是-7、指数是8.
（2）在(-10)8中，-10叫作底数，8叫作指数，因为负数的偶次幂是正数，所以(-10)8是正数.
【题型2】有理数的混合运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0
【答案】C
【解析】A．原式＝，选项错误，不符合题意；
B．原式＝+5×，选项错误，不符合题意；
C．原式＝24×，选项正确，符合题意；
D．原式＝24﹣4×9＝24﹣36＝﹣12，选项错误，不符合题意.
故选：C．
【举一反三1】下列有理数计算正确的是（　　）
A.（﹣5）+（+3）＝﹣8 B. C.﹣（﹣1）3＝3 D.
【答案】B
【解析】A、（﹣5）+（+3）＝﹣2，故A不符合题意；
B、﹣3÷（﹣）＝﹣3×（﹣3）＝9，故B符合题意；
C、﹣（﹣1）3＝1，故C不符合题意；
D、﹣（﹣）+（+）＝+＝1，故D不符合题意.
故选：B．
【举一反三2】19.8÷＝　　．
【答案】
【解析】19.8÷
＝19.8÷（3.45﹣0.25）
＝19.8÷3.2
＝19.8×
＝×
＝.
【举一反三3】计算：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10；
（2）；
（3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4；
（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]．
【答案】解：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10＝1.5+1.6＝3.1.
（2）
＝
＝
＝.
（3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4
＝﹣4×5﹣（﹣8）÷4
＝﹣20﹣（﹣2）
＝﹣18.
（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]
＝﹣1000+（16﹣4×2）
＝﹣1000+8
＝﹣992．
【举一反三4】计算：．
【答案】解：
．
【题型3】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　）
A.20cm3以上，30cm3以下 B.30cm3以上，40cm3以下 C.40cm3以上，50cm3以下 D.50cm3以上，60cm3以下
【答案】C
【解析】因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300＝200（cm3），
一颗玻璃球的体积最少是：200÷5＝40（cm3），
因此推得这样一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故选：C．
【举一反三1】图中，能说明“6×3+4×3”与“（6+4）×3”相等的是（　　）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【答案】B
【解析】由图可知，图①求得是线段的长6+4+3＝13（cm）；
图②求得是大长方形的面积：6×3+4×3＝（6+4）×3；
图③求得是总的球的个数：6×3+4×3＝（6+4）×3；
图④求得是总的钱数：6×3+4×4＝34（元）；
由上可得，能说明“6×3+4×3”与“（6+4）×3”相等的是②③.
故选：B．
【举一反三2】如表是李华参加“消防铭记心中”演讲比赛的得分情况，若演讲内容、演讲状态、感染力三项权重的比为4：3：3，则小明的最终得分为 　 　．
【答案】82分
【解析】根据题意得：85×+90×+70×
＝85×+90×+70×
＝34+27+21
＝82（分），
∴小明的最终得分为82分．
【举一反三3】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示：
这样捏合到第___________次后可以拉出64根面条．
【答案】6
【解析】根据题意有第一次：21＝2，第二次：22＝4，第三次：23＝8，…第n次：2n，所以第6次：26＝64．
【举一反三4】马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米．路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？
【答案】解：车速为每秒：18×1000÷3600＝5（米），
所以甲的速度为每秒：（5×6﹣15）÷6＝15÷6＝2.5（米），
乙的速度为每秒：（15﹣5×2）÷2＝5÷2＝2.5（米），
汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5﹣2.5）×（0.5×60+2）＝2.5×32＝80（米），
所以甲、乙再次相遇时间：80÷（2.5+2.5）＝80÷5＝16（秒）；
答：再过16秒以后甲、乙两人相遇．
【举一反三5】某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表：
（1）这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？
（2）若标准质量为每袋200g，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准200±3g，这批样品的合格率是多少？
【答案】解：（1）﹣5×1+（﹣2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3＝24（g）；
24÷20＝1.2（g）．
答：这批样品的平均质量比标准质量重，重1.2 g．
（2）由题意，得：200×20+24＝4024（g）．
由题意可知，与标准质量相差±3g的有4+3+4+5＝16袋，
所以（16÷20）×100%＝80%，
答：这批样品的总质量是4024 g，这批样品的合格率是80%．
【题型4】新定义问题与规律探究问题
【典型例题】规定运算[m，n]＝m﹣1+n，例如[﹣3，7]＝﹣3﹣1+7＝3．若满足等式[﹣5，3x+2p]＝5的x是正整数，则正整数p的值为（　　）
A.1或4 B.2 C.2或4 D.4
【答案】A
【解析】∵[﹣5，3x+2p]＝5，∴﹣5﹣1+3x+2p＝5，3x+2p＝11，
∵x是正整数，p为正整数，∴当x＝1时，p＝4；
当x＝2时，p＝，不符合题意；
当x＝3时，p＝1.
故选：A．
【举一反三1】定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　）
A.7 B.1 C.1或7 D.3或﹣3
【答案】C
【解析】∵a★b＝3，且a＝2，∴|2b﹣4﹣b|＝3，
∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3，解得b＝7或b＝1.
故选：C．
【举一反三2】定义新运算：a*b＝ab﹣ba，如2*1＝21﹣12＝2﹣1＝1，则4*（3*2）＝　 　．
【答案】3
【解析】∵a*b＝ab﹣ba，
∴4*（3*2）＝4*（32﹣23）＝4*（9﹣8）＝4*1＝41﹣14＝4﹣1＝3.
【举一反三3】有三行数：
2、、8、、32、、……①
0、、6、、30、、……②
、2、、8、、32、……③
取每行数的第7个数，那么这三个数的和是 .
【答案】190
【解析】由题目中的数据可得：
第一行数据的第个数为，
第二行数据的第个数为,
第三行数据的第个数为，
故第一行的第7个数为，第二行的第7个数为，第三行的第7个数为，
∴取每行数的第7个数，那么这三个数的和是.
【举一反三4】现规定一种新的运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，求*3的值．
【答案】解：∵a*b＝ab，∴*3＝（）3＝.
【举一反三5】根据乘方的意义及乘法运算律可知：
a2 b2＝a a b b＝(ab) (ab)＝(ab)2；
a3 b3＝a a a b b b＝(ab) (ab) (ab)＝(ab)3；
(1)根据以上材料可知：a4 b4＝___________，an bn＝___________(n为正整数)；
(2)根据上面得到的结论，计算：(－8)2011×(18)2011＝___________．
【答案】解：(1)a4 b4＝(ab)4，an bn＝(ab)n.
(2)原式＝(－8×18)2011＝(－1)2011＝－1．
【题型5】科学记数法
【典型例题】全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为( )
A.0.1023亿 B.1.023亿 C.10.23亿 D.102.3亿
【答案】B
【解析】＝102300000＝1.023亿.
【举一反三1】餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，我国每年浪费的食物总量折合粮食约为500亿千克．用科学记数法可以把数字表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
【举一反三2】某市今年约有名七年级学生，数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】用科学记数法表示为，
故选：D．
【举一反三3】将－2015000000用科学记数法表示为___________.
【答案】－2.015×109
【举一反三4】已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为___________.
【答案】1.12×105
【解析】112000＝1.12×105.
【举一反三5】神舟十三号创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行的1580000秒，这个飞行时间用科学记数法表示应为 秒．
【答案】
【解析】．
【题型6】近似数
【典型例题】下列说法不正确的是(　　)
A.304.35是精确到百分位
B.4.609万精确到万位
C.6300是精确到个位
D.近似数5.30和5.3的精确度不一样
【答案】B
【解析】A、304.35是精确到百分位，正确；
B、4.609万精确到十位，故本选项错误；
C、6300是精确到个位，正确；
D、近似数5.30精确到百分位，5.3精确到十分位，则近似数5.30和5.
【举一反三1】下列说法中错误的是(　　)
A.近似数0.8与0.80表示的意义不同
B.近似数0.3000精确到万分位
C.49554精确到万位是49000
D.3.145×104是精确到十位的近似数
【答案】C
【解析】A、近似数0.8精确到十分位，0.80精确到百分位，所以A选项的说法正确；
B、近似数0.3000精确到万分位，所以B选项的说法正确；
C、49554精确到万位是5万，所以C选项的说法错误；
D、3.145×104是精确到十位的近似数，所以D选项的说法正确．
【举一反三2】G20峰会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州．据统计，目前杭州市注册志愿者已达9.17×105人．而这个数字，还在不断地增加．请问近似数9.17×105的精确度是(　　)
A.百分位 B.个位 C.千位 D.十万位
【答案】C
【解析】近似数9.17×105精确到千位．
【举一反三3】一个两位小数四舍五入得到的近似数是7.0，这个小数最大是__________，最小是___________．
【答案】7.04；6.95
【解析】“四舍”得到的7.0最大是7.04，“五入”得到的7.0最小是6.95，所以这个小数最大是7.04，最小是6.95
【举一反三4】一个整数通过“四舍五入”后得到的近似数是5万，这个数最大可能是__________，最小可能是___________．
【答案】54999；45000
【解析】一个整数的近似数是5万，原来这个数的万位上的数可能是5、也可能是4；要使这个数最大，就是用“四舍”法，千位上最大是4，其它各位上都是9；即最大是54999；要使这个数最小，就是用“五入”法，千位上最小是5，其它各位上都是0．即45000．
【举一反三5】某同学测得一本书的长、宽、厚分别为x＝23.7cm、y＝16.8cm、z＝0.9cm，试推断的x、y、z的取值范围．
【答案】解：当x舍去百分位得到23.7，则它的最大值不超过23.75；当x的百分位进1得到23.7，则它的最小值是23.65．所以x的范围是23.65≤x＜23.75；
当y舍去百分位得到16.8，则它的最大值不超过16.85；当y的百分位进1得到16.8，则它的最小值是16.75．所以y的范围是16.75≤y＜16.85；
当z舍去百分位得到0.9，则它的最大值不超过0.95；当z的百分位进1得到0.9，则它的最小值是0.85．所以z的范围是0.85≤z＜0.95．
故x、y、z的取值范围是23.65≤x＜23.75；16.75≤y＜16.85；0.85≤z＜0.95．
【举一反三6】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示：
（1）太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12200000000km；（精确到100000000km）
（2）光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km；（精确到100000000000km）
（3）某市全年的路灯照明用电约需4200万kW h．（精确到百万位）
【答案】解：（1）12200000000km≈1.22×1010km.
（2）9500000000000km≈9.5×1012km.
（3）4200万≈4.2×107（精确到百万位）．2.3有理数的乘方
【题型1】有理数的乘方 4
【题型2】有理数的混合运算 5
【题型3】有理数混合运算的实际应用 5
【题型4】新定义问题与规律探究问题 7
【题型5】科学记数法 8
【题型6】近似数 8
【知识点1】有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 1.（2025 睢宁县三模）下列各数中，是负数的是（　　） A．-（-2）B．（-2）2C．|-2|D．-2
2.（2025春 道县期中）下列四个数中，结果是负数的是（　　） A．-5B．|-5|C．-（-5）D．（-5）2
【知识点2】非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024 洛龙区校级开学）若x,y为有理数，且（x+2）2+|y-3|=0，则的值等于（　　） A．B．C．D．
【知识点3】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 绿园区一模）若2□（-2）=0，则“□”中应填写的运算符号是（　　） A．+B．-C．×D．÷
【知识点4】近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 1.（2024秋 桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（　　） A．3.8B．3.9C．4.0D．3.85
2.（2024秋 安阳期末）把19547精确到千位的近似数是（　　） A．1.95×103B．1.95×104C．2.0×104D．1.9×104
【知识点5】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 1.（2025 雨城区校级模拟）2024年，在市委市政府的领导下，雅安高质量发展迈出坚实步伐．根据地区生产总值统一核算结果，2024年雅安实现地区生产总值约1083亿元．1083亿用科学记数法表示为（　　） A．1.083×109B．1.083×1010C．1.083×1011D．1.083×1012
【题型1】有理数的乘方
【典型例题】下列说法中，正确的是(　　)
A.若a≠b，则a2≠b2 B.若a2≠b2，则a≠b C.若a＞b，则a2＞b2 D.若a2＝b2，则a＝b
【举一反三1】下列各组数中相等的是（　　）
A.（﹣2）2与﹣22 B.﹣13与|﹣1|3 C.与 D.（﹣2）3与﹣|﹣23|
【举一反三2】下列各组数中，相等的一组是(　　)
A.(－3)2与－32 B.|－3|2与－32 C.(－3)3与－33 D.|－3|3与－33
【举一反三3】下列各式中：①﹣（﹣5）；②﹣|﹣5|；③（﹣5）2；④﹣52；其结果为正数的 　 　（填序号）．
【举一反三4】（1）(-7)8中底数、指数各是什么？
（2）在(-10)8中，-10叫作什么数？8叫作什么数？(-10)8是正数还是负数？
【题型2】有理数的混合运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0
【举一反三1】下列有理数计算正确的是（　　）
A.（﹣5）+（+3）＝﹣8 B. C.﹣（﹣1）3＝3 D.
【举一反三2】19.8÷＝　　．
【举一反三3】计算：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10；
（2）；
（3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4；
（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]．
【举一反三4】计算：．
【题型3】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　）
A.20cm3以上，30cm3以下 B.30cm3以上，40cm3以下 C.40cm3以上，50cm3以下 D.50cm3以上，60cm3以下
【举一反三1】图中，能说明“6×3+4×3”与“（6+4）×3”相等的是（　　）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【举一反三2】如表是李华参加“消防铭记心中”演讲比赛的得分情况，若演讲内容、演讲状态、感染力三项权重的比为4：3：3，则小明的最终得分为 　 　．
【举一反三3】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示：
这样捏合到第___________次后可以拉出64根面条．
【举一反三4】马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米．路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？
【举一反三5】某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表：
（1）这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？
（2）若标准质量为每袋200g，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准200±3g，这批样品的合格率是多少？
【题型4】新定义问题与规律探究问题
【典型例题】规定运算[m，n]＝m﹣1+n，例如[﹣3，7]＝﹣3﹣1+7＝3．若满足等式[﹣5，3x+2p]＝5的x是正整数，则正整数p的值为（　　）
A.1或4 B.2 C.2或4 D.4
【举一反三1】定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　）
A.7 B.1 C.1或7 D.3或﹣3
【举一反三2】定义新运算：a*b＝ab﹣ba，如2*1＝21﹣12＝2﹣1＝1，则4*（3*2）＝　 　．
【举一反三3】有三行数：
2、、8、、32、、……①
0、、6、、30、、……②
、2、、8、、32、……③
取每行数的第7个数，那么这三个数的和是 .
【举一反三4】现规定一种新的运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，求*3的值．
【举一反三5】根据乘方的意义及乘法运算律可知：
a2 b2＝a a b b＝(ab) (ab)＝(ab)2；
a3 b3＝a a a b b b＝(ab) (ab) (ab)＝(ab)3；
(1)根据以上材料可知：a4 b4＝___________，an bn＝___________(n为正整数)；
(2)根据上面得到的结论，计算：(－8)2011×(18)2011＝___________．
【题型5】科学记数法
【典型例题】全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为( )
A.0.1023亿 B.1.023亿 C.10.23亿 D.102.3亿
【举一反三1】餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，我国每年浪费的食物总量折合粮食约为500亿千克．用科学记数法可以把数字表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某市今年约有名七年级学生，数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】将－2015000000用科学记数法表示为___________.
【举一反三4】已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为___________.
【举一反三5】神舟十三号创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行的1580000秒，这个飞行时间用科学记数法表示应为 秒．
【题型6】近似数
【典型例题】下列说法不正确的是(　　)
A.304.35是精确到百分位
B.4.609万精确到万位
C.6300是精确到个位
D.近似数5.30和5.3的精确度不一样
【举一反三1】下列说法中错误的是(　　)
A.近似数0.8与0.80表示的意义不同
B.近似数0.3000精确到万分位
C.49554精确到万位是49000
D.3.145×104是精确到十位的近似数
【举一反三2】G20峰会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州．据统计，目前杭州市注册志愿者已达9.17×105人．而这个数字，还在不断地增加．请问近似数9.17×105的精确度是(　　)
A.百分位 B.个位 C.千位 D.十万位
【举一反三3】一个两位小数四舍五入得到的近似数是7.0，这个小数最大是__________，最小是___________．
【举一反三4】一个整数通过“四舍五入”后得到的近似数是5万，这个数最大可能是__________，最小可能是___________．
【举一反三5】某同学测得一本书的长、宽、厚分别为x＝23.7cm、y＝16.8cm、z＝0.9cm，试推断的x、y、z的取值范围．
【举一反三6】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示：
（1）太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12200000000km；（精确到100000000km）
（2）光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km；（精确到100000000000km）
（3）某市全年的路灯照明用电约需4200万kW h．（精确到百万位）

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