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北京市房山区周口店中学 2025-2026 学年高二上学期 10 月月考
数学试题
一、单选题
1．已知 A 1,3 ，B 3,5 ，则线段 AB的中点坐标为（ ）
A．（1，4） B．（2，1） C．（2，8） D．（4，2）

2．如图，平行六面体 ABCD ABC D CC

1 1 1 1中，E为 1中点．设 AB=a， AD b， AA1 c，用

基底 a,b,c 表示向量 AE，则 AE （ ）
r r r
A．a b c B． a b
1
c
2

a 1 b 1

C． c D． a b c
2 2
3．在如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 A1B与 B1C所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
4．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AD 1， AB 2，则点D1到点 B的距离等
于 ；点D1到直线 AC的距离等于 ．
试卷第 1页，共 2页
三、解答题
5．如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 底面 ABCD，底面 ABCD是正方形， PA AB 1，
M 为 PB的中点．
(1)求证： AM 平面 PBC ；
(2)求直线 PD与平面 PBC 所成角的大小；
(3)求点D到平面 PBC 的距离．
6．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， A1A 平面 ABC，D是BC的中点， BC 2，
A1A AB AC 1．
(1)求证： A1B //平面 ADC1；
(2)求二面角D AC1 C的余弦值；
(3)判断直线 A1B1与平面 ADC1是否相交，如果相交，求出 A到交点 H的距离；如果不相交，
求直线 A1B1到平面 ADC1的距离．
试卷第 2页，共 2页
参考答案
题号 1 2 3
答案 A B C
4 3 5
3
． 6 / 5
5 5
5．（1）因为 PA 平面 ABCD，所以 PA BC，
又 BC AB， PA AB A， PA, AB 平面 PAB，
所以 BC 平面 PAB， AM 平面 PAB，
所以 BC AM ，
因为 PA AB，且点M 是 PB的中点，所以 AM PB，
且 BC PB B， BC,PB 平面 PBC ，
所以 AM 平面 PBC ；

（2）以点 A为原点，以向量 AB, AD, AP为 x, y, z轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
A 0,0,0 M 1， , 0,
1
，P 0,0,1 ，D 0,1,0 ， B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，
2 2

AM 1 1

,0, ，PD 0,1, 1 ，
2 2

由（1）可知，向量 AM 是平面 PBC 的法向量，
设直线 PD与平面 PBC 所成角为 ，

1
所以 sin cos PD, AM
1
2 π
2 ,
则 ，
2 2 6
2
π
所以直线 PD与平面 PBC 所成角的大小为 ；
6
（3）因为 PA AD 1，则 PD 2，
π
由（2）可知，直线 PD与平面 PBC 所成角的大小为 ，
6
所以点D到平面 PBC 2 sin π 2的距离为 .
6 2
6．（1）连结 A1C交 AC1于点 E，连结DE，
答案第 1页，共 3页
因为点D,E分别是BC, A1C的中点，所以DE / /A1B，
且DE 平面 ADC1， A1B 平面 ADC1，
所以 A1B / /平面 ADC1；
（2）因为 AB AC 1，BC 2，
所以 AB AC，且 A1A 平面 ABC，

所以如图，以点 A为原点，以向量 AB, AC, AA 为 x, y, z1 轴的方向向量建立空间直角坐标系，
uuur
A 0,0,0 ，D 1 1 , , 0 ，C1 0,1,1 ， AD
1 , 1 ,0

2 2 2 2
， AC1 0,1,1 ，

设平面 ADC1的法向量为m x, y, z ，
AD m 1 x 1 y 0
则 2 2 ，令 x 1，则 y 1， z 1， AC1 m

y z 0
所以平面 ADC

1的法向量为m 1, 1,1 ，
平面 ACC

1的法向量 n 1,0,0 ，
设二面角D AC1 C的平面角为 ，

cos cos m ,n m n 1 3则 ，m n 3 3
3
所以二面角D AC1 C的余弦值为 ；
3
（3）如图，延长C1D交 B1B于点G，连结GA并延长，交 B1A1的延长线于点H，
因为点D是 BC的中点，所以GB BB1 1，
BA 1所以 B1H ，即 A2 1
H AA1 1，
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则 AH 12 12 2
答案第 3页，共 3页

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