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2025-2026 学年北京市西城区第一六一中学高一上学期 10 月月考
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分。
1.设集合 = 2,0,2 ， = 0 ，则以下判断正确的是( )
A. 为空集 B. ∈ C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A.方程 2 2 5 + 6 = 0 的所有解的集合可表示为 2,2,3 ．
B.很小的实数可以构成集合．
C.若 = 1,1 , = { | ∈ }，则
D.由 3，4，5 组成的集合可表示为 3,4,5 或 4,3,5 ．
3.下列图形可以表示函数图象的是( )
A. B.
C. D.
4.已知集合 = { | 2 ≤ 4}， = { | > 1}，则集合 ∩ 等于( )
A. { | ≥ 2} B. { |1 < ≤ 2} C. { | ≥ 1} D.
5.“0 < < 2”是“ 1 < < 3”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 = + 2 + 3 ， = + 1 + 4 ，则( )
A. = B. < C. > D.无法确定
7.已知 < 0， > 0，那么下列不等式中不一定成立的是( )
A. > 0 B. > C. 2 > D. 1 1 <
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8.设 0 < < 12 , 0 < <
1
6，则 2 的取值可能为( )
A. 1 B. 18 4 C. 1 D.
7
6
9.命题“存在 > 0，使得 2 + 2 1 > 0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. > 2 B. > 1 C. > 0 D. = 1
10.对于非空数集 ，定义 表示该集合中所有元素的和.给定集合 = {2,3,4,5}，定义集合 =
, ≠ ，则集合 的元素的个数为( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知集合 = 2,0,1 ，集合 = 5,1,2 ，则集合 ∪ 的真子集的个数为 (填写数字)
12.水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲 乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示，
若全部水果都用甲 乙两种车型来运送(假设每辆车均满载)，需运费 8200 元，则需甲车型 辆，乙车
型 辆(用数字作答)．
车型 甲 乙
汽车运载量(吨/辆) 5 8
汽车运费(元辆) 400 500
13.设已知集合 = 1,3, , = 1, 2 + 1 ，且 ，则 = ．
2 = 1
14.若关于 , 的方程组 + = 3 .唯一解，则实数 的取值范围是 ．
15.已知不等式 2 1 2 + 1 1 < 0 的解集是 ，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知全集 = { , | , ∈ }，若集合 ，且对任意 1, 1 ∈ ，均存在 2, 2 ∈ ，使得： 1 2 +
2 1 = 0，则称集合 为“对称对点集”.给出如下集合：
(1) = {( , )| , ∈ } 1； (2) = ( , )| = , ∈ , ≠ 0 ；
(3) = {( , )| = 2 + 1, ∈ }； (4) = ( , )| = 2, ∈ , ≠ 0 ．
其中是“对称对点集”的序号为 (写出所有正确的序号)
17 1 1.已知不等式 1 ≤ 2的解集为 ，不等式 ≥ 1 的解集为 ，全集为 ．
(1)求集合 ， ；
(2)求 ∪ , ∩ ；
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(3)集合 = { | < < + 1}，若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.已知关于 的方程 2 2( 1) + 2 = 0 有两个实数根 1， 2．
(1)求 的取值范围；
(2)若| 1 + 2| = 1 2 1，求 的值．
19.设 = 2 + (1 ) + 2．
(1)若 = 2，求不等式 > 0 的解集；
(2)解关于 的不等式 2 + (1 ) + 2 < 1( ∈ ).
20.已知 是 的非空真子集，如果对任意 , ∈ ，都有 + ∈ , ∈ ，则称 是封闭集．
(1)判断集合 = 0 , = 1,0,1 是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题 ：若非空集合 1, 2是封闭集，则 1 ∪ 2也是封闭集；
命题 ：非空集合 1, 2是封闭集，则 1 ∩ 2 ≠ 是 1 ∩ 2是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合 是封闭集合，设全集为 ，求证： 的补集不是封闭集
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.15
12.8
；10
13. 1 或 2
14. ≠ 2
15. 35 < ≤ 1
16.(1)(4)
17.(1)解不等式| 1| ≤ 12
1
2 ≤ 1 ≤
1 1 3
2，化简得：2 ≤ ≤ 2，所以 = { |
1
2 ≤ ≤
3
2 }；
1 1 (1 ) ≥ 0 ( 1) ≤ 0
解不等式 ≥ 1，通分可得 ≥ 0，等价于 ≠ 0 ，即 ≠ 0 ,
解 ( 1) ≤ 0，其对应的方程 ( 1) = 0 的根为 = 0 和 = 1，
根据二次函数图象性质，不等式的解为 0 < ≤ 1，所以 = { |0 < ≤ 1}；
(2)因为 = { | 1 32 ≤ ≤ 2 }， = { |0 < ≤ 1}，所以 ∪ = { |0 < ≤
3
2 }；
= { | 1 3 1 32 ≤ ≤ 2 }，所以 = { | < 2或 > 2 }，
1 3 1
因为 = { | < 2或 > 2 }， = { |0 < ≤ 1}，所以( ) ∩ = { |0 < < 2 }；
(3)已知 ∩ = ，这意味着 与 没有公共元素，
1 3
所以 + 1 ≤ 2或 ≥ 2，
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+ 1 ≤ 1 1 1解 2，得到 ≤ 2 1 = 2；
1 3
所以实数 的取值范围是 ≤ 2或 ≥ 2．
18.(1)依题意，得 = 2 4 ≥ 0，
即[ 2( 1)]2 4 2 ≥ 0 1，解得 ≤ 2．
(2)依题意，可知 1 22 = ， 1 + 2 = 2( 1)．
1
由(1)可知 ≤ 2，
所以 2( 1) < 0，即 1 + 2 < 0．
所以 2( 1) = 2 1，
解得 1 = 1， 2 = 3．
≤ 1因为 2，所以 = 3．
19.(1)若 = 2，则由 = 2 + (1 ) + 2 = 2 2 = 2 1 > 0，
1 1
解得 < 0 或 > 2，所以不等式 > 0 的解集为 ∞,0 ∪ 2 , + ∞ ．
(2)不等式 2 + (1 ) + 2 < 1，
即 2 + (1 ) 1 = + 1 1 < 0，
当 = 0 时， 1 < 0，解得 < 1，不等式的解集为 ∞,1 ；
1
当 > 0 时，不等式的解集为 , 1 ；
1
当 1 < < 0 时，不等式的解集为 ∞,1 ∪ , + ∞ ；
当 = 1 时，不等式的解集为 | ≠ 1 ；
< 1 1当 时，不等式的解集为 ∞, ∪ 1, + ∞ ．
20.(1)对于集合 = 0 ,因为 0 + 0 = 0 ∈ , 0 × 0 = 0 ∈ ，
所以 = 0 是封闭集；
对于集合 = 1,0,1 ，因为 1+ 1 = 2 , 1 + 1 = 2 ，
所以集合 = 1,0,1 不是封闭集．
(2)对命题 ：令 1 = { | = 2 , ∈ }, 2 = { | = 3 , ∈ }，
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令 1 = 2 1, 1 = 2 2, 1, 2 ∈ ，则 1 + 1 = 2( 1 + 2) ∈ 1, 1 1 = 2(2 1 2) ∈ 1，
因此集合 1是封闭集，同理集合 2也是封闭集，
取 2 = 2, 2 = 3，则 2, 2 ∈ ( 1 ∪ 2)，而 2 + 2 = 5 ( 1 ∪ 2)，
因此集合 1 ∪ 2不是封闭集，命题 是假命题；
对于命题 ：若 1 ∩ 2 ≠ ，不妨令 , ∈ ( 1 ∩ 2)，则有 , ∈ 1，又集合 1是封闭集，
则 + ∈ 1, ∈ 1，同理 + ∈ 2, ∈ 2，因此 + ∈ ( 1 ∩ 2), ∈ ( 1 ∩ 2)，
所以 1 ∩ 2是封闭集；
反之，若 1 ∩ 2是封闭集，则 1 ∩ 2是非空集合，即 1 ∩ 2 ≠ ，
所以 1 ∩ 2 ≠ 是 1 ∩ 2是封闭集的充要条件，命题 是真命题．
(3)非空集合 是封闭集合，当 = 时， = ，因此 不是封闭集合；
当 ≠ 时，假设 是封闭集合，
设 0 ∈ ，在 中任取一个 , ≠ 0，则 ∈ ，
否则 ∈ ，此时 + ( ) = 0 ∈ ，与 0 ∈ 矛盾，
因此 2 ∈ , 2 ∈ ，而( )2 = 2，与 ∩ ( ) = 矛盾，
则当 0 ∈ 时，则 不是封闭集合，同理当 0 ∈ 时， 不是封闭集合，
所以 的补集不是封闭集．
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