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第二十一章一元二次方程检测卷（A）人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
3．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．17.3（1+x）＝18.1
B．17.3（1+x）2＝18.1
C．17.3（1+x）3＝18.1
D．17.3+17.3（1+x）+17.3（1+x）2＝18.1
4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
5．一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．
6．已知方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
10．若实数满足 ，则的值为 ．
11．已知方程的两根分别为和，则的值为 ．
12．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程
(1)； (2)；
(3)； (4)．
14．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长．
15．如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为．
(1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）．
(2)当时，求的值．
(3)连接，当时，求的值．
(4)当点在边上，且时，直接写出的值．
16．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元．
(1)用含x的代数式表示．
①每个商品的实际利润是 元；
②实际的销售量是 个．
(2)为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？
17．已知关于x的一元二次方程．试根据下列条件求m的值．
(1)两根互为相反数．
(2)两根之和等于3．
(3)两根之积等于1．
(4)两根的平方和等于8．
(5)两根之和的相反数等于两根之积．
18．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
参考答案
选择题
1—8：ACBCDBBA
二、填空题
9．【解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
10．【解】解：设，则，
，即，
解得：，
，
．
故答案为：1．
11．【解】解：∵方程的两根分别为和，
∴，
则
故答案为：16
12．【解】解：，
，
，
∴，
解得，，
∵较大根为p，
∴，
由方程，
，
解得：，，
∵较小根为q，
∴，
∴，
故答案为：2025．
三、解答题
13．【解】（1）解：，
其中，，，
，
方程无解；
（2）解：，
其中，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程的解为，；
（3）解：，
用平方差公式分解因式得：，
整理得：，
可得：或，
当时，，
当时，，
方程的解为，；
（4）解：，
移项得：，
利用完全平方公式分解因式得：，
解得：．
14．【解】（1）解：根据题意，得，
解得：；
（2）解：由根与系数的关系可知，，
∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，
∴，
整理，得，
∴，
又∵，且，
∴，
∴这个矩形的周长为：
．
15．【解】（1）解：∵在矩形中，，．
∴
由题意可得：，则．
故答案为：，．
（2）解：如图：当时，点P在上，点Q在上，，
所以的面积为．
（3）解：由题意可得：， ，
∵，
∴，解得：，
如图：当时，点P在上，点Q在上，，
所以的面积为．
（4）解：如图：∵点在边上，，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去），
∴的值为7．
16．【解】（1）解：①∵ 进货单价为元，原售价元，涨价元，
∴ 每个商品的实际利润是元，即元．
②∵ 每个涨价元，销售量就减少个，涨价元，
∴ 销售量减少个，
又∵ 原销售量为个，
∴ 实际的销售量是个，即个．
（2）解：根据题意得
，
展开得：，
移项整理得：，
因式分解得：，
解得，．
∵ 要尽量兼顾顾客的利益，即售价应尽量低，
∴取，此时售价为（元）．
答：每个售价应定为元．
17．【解】（1）解：设方程的两根为，，
则有，，
且．
当两根互为相反数，则：，得．
（2），得．
（3），得，
∵当时，，
∴．
（4），即，
∴，
解得，．
∵当时，，
∴．
（5），
解得，．
∵当时，，
∴．
18．(1)③
(2)或
(3)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可；
（3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可．
【详解】（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
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