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2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
温故知新
勾股定理：
在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的三边长a, b, c满足a2+b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形吗？
1.2学 习 目 标（P10-P11）
1
2
4
理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及勾股定理逆定理的条件和结论，体会数学知识之间的内在联系（勾股定理与勾股定理逆定理的互逆关系）；
会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形；
应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念。
3
理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力；
下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c：
① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25；⑤ 2, 3, 4。
新知探究
（一）实验操作，初步感知
要求：
(1) 每个小组选择2组数据，用尺规在纸上尝试画出相应的三角形。
(2) 用量角器测量所画三角形中最大边所对的角。
(3) 计算每组数据中，两条较短边的平方和与最长边的平方，比较它们的关系。
问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a +b =c ？
问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形么？
画三角形方法提示：
①先用有刻度的直尺作出三条符合数据的线段长；
②再用尺规作三角形。
新知探究
（一）实验操作，初步感知
展示画图结果
3 5
4
5 12
13
8 17
15
7 25
24
2 4
3
① ② ③ ④ ⑤
新知探究
(二)观察比较，提出猜想
问题1.画出的三角形中，最大角是直角吗？此时三边平方有什么关系？
① ② ③ ④ ⑤
3 5
4
5 12
13
8 17
15
7 25
24
2 4
3
最大角为直角的有：①②③④； 三边关系： ①3 +4 =25=5 ；②5 +12 =169=13 ；③8 +15 =289=17 ；④7 +24 =625=25
问题2.哪些组画出的三角形最大角不是直角？此时三边平方有什么关系？
⑤，2 +3 =13＜16=4
问题3.满足a +b = c （c最长）的几组数据（①②③④），它们都能画出直角三角形，由此你能得出什么结论？
104.5°
新知探究
(二)观察比较，提出猜想
猜想：如果三角形的三边长a, b, c满足 a + b = c （其中c是最长边），那么这个三角形是直角三角形。
这一猜想一定正确吗？如何证明？
求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。
新知探究
（三）推理论证，形成定理
已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 a + b = c (假设c是最长边)。
能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角形三边对应相等？
c
∴ ∠C = ∠C' = 90°，即△ABC是直角三角形。
新知探究
（三）推理论证，形成定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形。其中最长边 c 是斜边。
c
勾股数：满足a + b = c 的三个正整数a、b、c，称为勾股数。
提分笔记
勾股数的两个必要条件：
①a + b = c ；②正整数
注意：斜边是直角三角形中的最长边，在未判断出直角三角形前，不能用斜边的概念，只能使用最长边。
绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形？
应用新知
解：设三边分别为5x、4x、3x
导入问题的“埃及三角形”揭秘
3x
5x
4x
①确定最长边：5x
②计算：(3x) =9x2，(4x) =16x2，
(5x) =25x2
③比较：9x2+16x2=25x2
∴三边满足逆定理，它一定是直角三角形。
应用新知
判断零件的形状是否满足要求
又∵5 +12 =25+144=169=13 ，
∴△DBC为Rt△，∠DBC=90°，
解：
①确定最长边：在△ABD中BD是最长边，在△BCD中CD是最长边。
②计算与比较：
∵3 +4 =9+16=25=5 ，
∴△ABD为Rt△，∠A=90°，
∴这个零件符合要求。
例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗
提分笔记
判断直角三角形的步骤：
①确定三角形的最长边c；
②计算各边长的平方：a 、b 、 c ；
③比较a + b 和 c （最长边的平方）
题型一.判断是否为直角三角形
题型探究
判断△BEF的形状：
1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长 说说你的理由。
（1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。
2.（随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形 你是如何判断的 与同伴进行交流。
？
2
2
4
4
3
1
题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高
题型探究
24m
7m
15m
20m
题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积
题型探究
方法点拨：
①求三角形三边边长；②判断三角形的形状；③分别求两个三角形的面积作和（差）。
4
3
13
12
求△CBD的面积
判断△CBD的形状
勾股定理：求CB的长
3
4
3
4
7
1
思考与讨论：勾股定理和勾股定理逆定理有什么关系？
拓展提升
Rt△ABC（∠C=90°）
条件
勾股定理：
结论
勾股定理：
a +b =c
a +b =c (c最长)
Rt△（∠C=90°）
问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？
勾股定理的条件是勾股定理逆定理的结论，勾股定理的结论是勾股定理逆定理的条件。勾股定理和其逆定理属于互逆命题（互逆定理）。
问题2.三角形的三边a、b、c满足 a +c = b 或 b +c =a 时，是否还是直角三角形？
答：是直角三角形， 满足a +c =b 时b为斜边，满足b +c =a 时a为斜边。
与勾股数有关的运算问题
拓展提升
15（8）
课堂小结
1.本节课我们学习了什么重要定理？
2.如何运用这个定理判断一个三角形是否为直角三角形？
3.它和勾股定理有什么区别和联系？
4.探究过程中我们用了哪些方法？
课堂小结
本节课学习内容梳理：
1. 基础必做题：教材P11，习题§1.2 第1、2题，补充练习1；
2. 能力提升题（选做）：补充练习中的2、3；
3. 开放实践题：寻找生活中应用勾股定理逆定理的例子。
作业布置
作业布置
补充练习
作业布置
补充练习
作业布置
补充练习

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