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2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
4.1 函数

第四章
一次函数
情境导入
生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。
情境导入
1.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明 ： 随 的变化而变化.
2.高处不胜寒，
说明 ： 随 的变化而变化.
在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做_________，y叫做 。
气温
时间
海拔高度
温度
自变量
因变量
新知探究
一、函数的概念及表示方法
情景一
想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
新知探究
下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度 h (单位：m)与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系。
t / min
0
1
2
3
4
5
…
h / m
…
(1)根据图填表：
(2)对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
确定；唯一一个
11
37
45
37
3
10
一、函数的概念及表示方法
新知探究
情景二
圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表：

1
2
3
4
5
…
…
（2）对于给定任一层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
对于给定的层数n,相应的物体总数y随之确定.
唯一一个
1
3
6
10
15
一、函数的概念及表示方法
新知探究
情景三
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃ ，则气体的压强为零 . 因此，物理学把 -273℃ 作为热力学温度的零度 . 热力学温度 T(K) 与摄氏温度 t(℃) 之间有如下数量关系： T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
解：当 t=-43 时， T=-43+273=230 （ K ）
当 t=-27 时， T=-27+273=246 （ K ）
当 t=0 时， T=0+273=273 （ K ）
当 t=18 时， T=18+273=291 （ K ）
（2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
唯一一个T值
一、函数的概念及表示方法
确定
新知探究
上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?
三个情景
相同点
不同点
情景一
情景二
情景三
T ＝ t ＋273.15,T≥0
图象法
表格法
关系式法
表示方法
都有两个变
量，给定其
中某一个变
量的值，相
应地就确定
了另一个变
量的值。
一、函数的概念及表示方法
新知探究
一、函数的概念及表示方法

一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
函数的概念
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
列表法
图象法
关系式法(解析式法、表达式法)
函数的一般表示方法
新知探究
二、自变量的取值范围
情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
自变量 t 的取值范围:__________
t≥0
情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围： .
n取正整数
情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
自变量 t 的取值范围： .
t≥-273
上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
新知探究
三、函数的值
思考 上述问题中，自变量能取哪些值?
t / min
0
1
2
3
4
5
…
h / m
3
10
37
45
37
11
…
层数 n
1
2
3
4
5
…
物体总数 y
1
3
6
10
15
…
（3）在气体与压强的问题中：
当 t ＝－43时，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）。
（1）在摩天轮问题中：
（2）在圆柱形物体的堆放问题中：
你有什么发现？
新知探究
三、函数值
函数值

对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
即：如果y是x的函数，当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当 x＝a时的函数值。
注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。

典例分析
例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是?
(1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ± .
?????
?
解析：
对于 (1)、(2)、（3） x 的每一个确定的值，y都 有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；
（4）中当 x = 1 时， y = ±1对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。
y值具有唯一性

典例分析
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
解：函数关系式为： y = 50－0.1x
由 x≥0 及 50－0.1x≥0 得 0≤x≤500，
∴自变量的取值范围是: 0≤x≤500。
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。

典例分析
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
当 x＝200 时，函数 y 的值为:
y＝50－0.1×200＝30。
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。

基础巩固练
基础巩固题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
2．下列四个选项中，说法不正确的是（? ???）
A．在匀速运动公式 中，s是t的函数，v是常量.
B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么 β是α的函数.
C．在圆的周长公式 中，2是常量，???? ，r，C均为变量.
D．一种金属，其质量是体积的函数.
?
A
B
C
D
D
C

基础巩固练
3.函数????=?????????????的自变量???? 的取值范围是 .
?
x≥0且x≠1
?
4.已知y＝????2＋2x－1，当 x＝1 时，函数值y＝ 。
?
2

基础巩固练
5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型．
测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ，表格中m的值为_____；
(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；
(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．
岩层的
深度h
岩层的
温度t
160
t=55+35(h-1)=35h+20
当t=335时，35h+20=335
解得h=9
即岩层的深度为9km.
课堂小结
函数的概念及表示方法
函数
自变量的取值范围
函数值

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