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2025-2026学年江苏省江阴市第一中学高一上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∣ 1 ≤ ≤ 1 , = { ∣0 < ≤ 1}，则 为( )
A. ∣ 1 ≤ ≤ 0 B. { ∣ 1 ≤ < 0}
C. ∣ ≤ 0 D. ∣0 ≤ ≤ 1
2.设 > ， < ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. + > + B. > C. > D. >
3 1.“ > 1”是“ 1 > 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 1.已知 > 2, = + 2，则 的最小值为( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
5.不等式 2 + > 0 的解集为{ | 2 < < 1}，则函数 = 2 + + 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设 > 0， > 0 且 + = 2 4 1，则 + 的最小值为( )
A. 9 B. 5 92 C. 4 D. 2
7.已知集合 = { |( 4)( + 2) > 0}， = { | 2 + (1 ) < 0, > 0}， ∩ 中有且只有一个整数
解，则 的取值范围是( )
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A. [5,6) B. (5,6] C. [5,6] D. (5, + ∞)
8.若集合 的三个子集 、 、 满足 ，则称( , , )为集合 的一组“亲密子集”.已知集合 = {1,2,3}，
则 的所有“亲密子集”的组数为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. 0
B.若 ∈ ∩ ，则 ∈ ∪
C.命题“ ∈ ， 2 > 0”的否定是“ ∈ ， 2 ≤ 0”
D. 已知 ∈ ，则“ < ”是“ < < 0”的必要不充分条件
10.已知关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为 ∞, 2 ∪ 3, + ∞ ，则( )
A. > 0
B.不等式 + > 0 的解集为{ ∣ < 6}
C. + + > 0
D. 1 1不等式 2 + < 0 的解集为 < 3或 > 2
11.已知 > 0, > 0, 2 + = 1，则下列结论正确的是( )
A. 0 < < 1 B. + 2 的最大值为 2
C. 1的最大值为2 D. + ≤ 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 为实数集，集合 = 2 4 + 3 0 ， = | 1 < < 2 ，则图中阴影部分表示的集合为
13.已知命题“ ∈ ， 2 + + ≤ 0”为假命题，则 的取值范围是 ．
14 1 4 .已知 = 1，且 0 < < 2，则 2+16 2最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 4 + 3 0}, = { |2 < < 4}， = ∣2 ≤ ≤ + 2, ∈
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(1)分别求 ∩ , ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
命题 : ∈ ∣ 1 ≤ ≤ 2 ，使得 2 1 ≤ 0 恒成立，命题 : ∈ ∣0 ≤ ≤ 1 , 2 2 ≥ 2 3
成立．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且仅有一个为真，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
1
已知关于 的不等式 +1 < 0 的解集为 ，不等式| 1| < 1 的解集为 ．
(1)若 = 12，求 ;
(2)若 = ( ∞, 1) ∪ ( 12 , + ∞)，求 的值;
(3)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分非必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整
3
出 ∈ 名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为 10 500 万元 > 0 ，剩余
员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2 %．
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工
从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 的取值范围
是多少？
19.(本小题 17 分)
法国数学家佛郎索瓦 韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于
韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于
一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0) ，它的两根 、 有如下关系： + = , =

.”

韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： + = , = ，那么这两个数
和 是方程 2 + + = 0( ≠ 0)的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系
构造一元二次方程
例如： + = 3, = 2，那么 和 是方程 2 + 3 + 2 = 0 的两根．请应用上述材料解决以下问题：
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(1)已知 、 是两个不相等的实数，且满足 2 2 = 4， 2 2 = 4 1 1，求 + 的值；
(2)已知实数 、 满足 + ( + ) = 13， 2 + 2 = 42，求 2 + 2的值；
(3)已知 1， 2是二次函数 ( ) = 4 2 4 + + 1 的两个零点，且 ∈
1 + ，求使 2 2
的值为整数的所有
1
的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. |1 ≤ < 2
13. > 14
14. 28
15.解：(1)已知全集 = ，集合 = { | 2 4 + 3 0}, = { |2 < < 4}，
∴ = { | 2 4 + 3 0} = { |1 3},
∴ ∩ = { |2 < 3}, = { | 2或 ≥ 4}，
∴ ∪ ( ) = { 3或 ≥ 4};
(2)若 ∩ = ，
①当 = 时， 2 > + 2, ∴ > 2 ，
2 ≤ + 2 2 ≤ + 2
②当 ≠ 时， + 2 < 1 或 2 > 3 ，
∴ < 1 3或 2 < ≤ 2，
综上所述，若 ∩ = ，
3则 的取值范围为 ( ∞, 1) ∪ ( 2 , + ∞)
16.(1)若 为真命题，则当 ∈ ∣ 1 ≤ ≤ 2 时， ≥ 2 1 恒成立，即 ≥ 2 1 max，
由二次函数性质可知，当 = 2时， 2 1 取得最大值 1，即 ≥ 1，
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所以，实数 的取值范围为 1, + ∞ ．
(2)若 为真命题，则当 ∈ ∣0 ≤ ≤ 1 时， 2 2 2max ≥ 3 ，
由一次函数性质可知，当 = 1 时，2 2 取得最大值 0，即 2 3 ≤ 0，
解得 0 ≤ ≤ 3，即 为真命题时，实数 的取值范围为 0,3 ．
记 = 1, + ∞ , = 0,3 ,
则命题 和 有且仅有一个为真时，实数 的取值范围为 ∩ ∪ ∩ ，
因为 = ∞,1 , = ∞,0 ∪ 3, + ∞ ，
所以 ∩ = 0,1 , ∩ = 3, + ∞ ,
所以 ∩ ∪ ∩ = 0,1 ∪ 3, + ∞ ．
1
17. 1解：(1)因为 = 1 1 22，所以不等式 +1 < 0 可化为 +1 < 0，
也即( 2)( + 1) < 0，解得： 1 < < 2，
故 = ( 1,2)．
(2) 1由不等式 +1 < 0 可化为( 1)( + 1) < 0，
1
因为关于 的不等式 +1 < 0 的解集为 = ( ∞, 1) ∪ (
1
2 , + ∞)，
所以 1 1和 2是方程( 1)( + 1) = 0 的两根，
所以 = 2．
= 2 1当 时，由 +1 < 0
2 1
，得 +1 < 0，
即 2 + 1 + 1 > 0 1，解得 ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 2 , + ∞)，
所以 = ( ∞, 1) ∪ ( 12 , + ∞)，符合题意，
故 = 2．
(3)因为不等式| 1| < 1 可化为： 1 < 1 < 1，解得：0 < < 2，所以 = (0,2)，
又因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分非必要条件，
所以 是 的真子集．
1
由不等式 +1 < 0 可化为( 1)( + 1) < 0，
①当 = 0 时， = ( 1, + ∞)，满足题意；
1 1 1
②当 > 0 时， = ( 1, )，要使 是 的真子集，则有 ≥ 2，所以 0 < ≤ 2；
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③当 1 < < 0 1时， = ( ∞, ) ∪ ( 1, + ∞)，满足 是 的真子集，
④当 = 1 时， = ( ∞, 1) ∪ ( 1, + ∞)，满足 是 的真子集，
⑤当 < 1 时， = ( ∞, 1) ∪ ( 1 , + ∞)，满足 是 的真子集，
1
综上所述：实数 的取值范围为( ∞, 2 ]．
18.(1)由题意得：10 1000 1 + 0.2 % ≥ 10 × 1000，
即 2 500 ≤ 0，又 > 0，
所以 0 < ≤ 500.即最多调整 500 名员工从事第三产业．
(2) 3 从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 500 万元，
1
从事原来产业的员工的年总利润为 10 1000 1 + 500 万元，
则 10 3 500 ≤ 10 1000 1 +
1
500 ，
3
2
所以 500 ≤ 1000 + 2
1 2500 ，
2 2
所以 ≤ 500 + 1000 + ，
2 1000
即 ≤ 500 + + 1 恒成立，
2 1000 2 1000 2 1000
因为500 + ≥ 2 500 = 4，当且仅当500 = ，即 = 500 时等号成立．
所以 ≤ 5，又 > 0，所以 0 < ≤ 5，
即 的取值范围为 0,5 ．
19.解：(1)由 2 2 = 4， 2 2 = 4， ≠ ，
可将 , 看作方程 2 2 4 = 0 的两个不相等的实数根，
由韦达定理， + = 2, = 4，
1 1 + 2 1
所以 + = = 4 = 2；
(2)由 + ( + ) = 13， 2 + 2 = ( + ) = 42，
可将 , + 看作方程 2 13 + 42 = 0 的两个实数根，
由 2 13 + 42 = 0 解得 = 6 或 = 7，
则有 = 6, + = 7 或 = 7, + = 6，
①当 = 6, + = 7 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 49 12 = 37；
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②当 = 7, + = 6 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 36 14 = 22．
所以 2 + 2的值为 22 或 37．
(3) +1由题意和韦达定理，可得 ≠ 0， 1 + 2 = 1, 1 2 = 4 ，
且Δ = (4 )2 4 × 4 ( + 1) = 16 > 0，解得 < 0，
1 +
2 2
2 = 1+ 2 = ( 1+ 2)
2 2 1 2 ( 1+ 2)2 4 4 +4 4 4故 2 1 1 2
= 2 = 2 = 2 = 2 ,
1 2 1 2 +1 +1 +1
4
因 1 2 + = 2 +1 ∈ Z，又 ∈ Z，故 + 1 必为 4 的因数，2 1
则 + 1 的值可能为 4, 2, 1,1,2,4，
则实数 的值可能为 5, 3, 2,0,1,3，又 < 0，
故 的所有取值为 5, 3, 2．
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