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2025-2026 学年天津市高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 + 1 = 0 的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.如果 < 0， < 0，则直线 + + = 0 不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 = (1,0,1)， = ( , 1, 2)，且 = 3，则向量 与 的夹角为( )
A. 5 6 B.
2
3 C. 3 D.

6
4.已知直线 过点(1, 1)和( 3,1)，则直线 在 轴上的截距为( )
A. 12 B.
1
2 C. 1 D. 1
5.“ = 3”是“直线 + (1 ) 2 = 0 与直线( 1) + (2 + 3) 3 = 0 互相垂直的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 = (2,1, 3)， = ( 1,2,3)， = (7,6, )，若 ， ， 共面，则 为( )
A. 3 B. 3 C. 9 D. 9
7.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 、 分别是 、 的中点，则 的值为( )
A. 2 B. 1 22 C.
1 2 3 2
4 D. 4
8.已知 (2,2,1)， (3,2,0)，则点 (2,0, 1)到直线 的距离为( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
9.若平面 的法向量为 = ( 1,2,4)，平面 的法向量为 = ( , 1, 2)，直线 的方向向量为 = ( , 2,
4)，则( )
A.若 // ，则 = 1 B.若 ⊥ ，则 = 2
C.若 = 20，则 // D.若 = 10，则 ⊥
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
10.在平面直角坐标系中直线 的一个方向向量为 = (2, 3)，则直线 的斜率为 ．
11.已知 的三个顶点 ( 5,0)， (3, 3)， (0,2)，则 边上的垂直平分线所在直线的方程为 ．
12.已知直线 1: ( 2) 3 1 = 0 与直线 2: + ( + 2) + 1 = 0 相互平行，则实数 的值是 ．
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13.若异面直线 1， 2的方向向量分别是 = (0, 1, 2)， = (4,0,2)，则异面直线 1与 2的夹角的余弦值
为 ．
14.在平行六面体 1 1 1 1中， 1 ∩ 1 = ，记向量 = ， = ， 1 = ，则用 ， ，
表示向量 = ．
15.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1上动点(包括端点).给出下列四个结论；
2 3
①三棱锥 1 中，点 到面 1 的距离为定值 3
②过点 且平行于面 1 的平面被正方体 1 1 1 1截得的多边形的面积为 2 5
3 6
③直线 1与面 1 所成角的正弦值的范围为 3 , 3
④当点 为 1 1中点时，三棱锥 1 的外接球表面积为 13π
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
已知 = (2, 2,2)， + = (6, 3,2)．
(1)求 的值；
(2)设向量 = (4, , )， // ，求 ；
(3)若 + ⊥ 2 ，求 的值．
17.(本小题 14 分)
1
在如图所示的五面体 中，面 是边长为 2 的正方形， ⊥面 ， // ，且 = 2 = 1,
为 的中点， 为 中点．
(1)求证： //平面 ；
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(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是直角梯形，其中 // ， ⊥ ， = =
1
2 = 2， = 4， 为棱 上的点，且 =
1
4 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3) 5 设 为棱 上的点(不与 ， 重合)，且直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 32/ 1.5
11.3 5 7 = 0
12. 4
13.25/0.4
14.1 + 12 2
15.①③
16.(1)由题设 = (6, 3,2) (2, 2,2) = (4, 1,0)，所以 = 2 × 4 + ( 2) × ( 1) + 2 × 0 = 10；
(2)由(1) = (4, 1,0) (2, 2,2) = (2,1, 2)，又 // ，
4
所以2 = 1 = 2，可得 = 2, = 4，即 = (4,2, 4)，
所以 = (4,2, 4) (2, 2,2) = (2,4, 6)，则 = 4 + 16 + 36 = 2 14；
(3)由(1) + = (2 , 2 , 2 ) + (4, 1,0) = (2 + 4, 2 1,2 )，
2 = (2, 2,2) (8, 2,0) = ( 6,0,2)，
由 + ⊥ 2 ，则 + 2 = 6(2 + 4) + 0 + 4 = 0，
所以 8 + 24 = 0，则 = 3．
17.(1)如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,0,1)， (1,2,0), (0,2,1)，
所以 = ( 1,2,0)，显然平面 的法向量可以为 = (0,0,1)，
所以 = 0，即 ⊥ ，又 平面 ，所以 /\ !/平面 ；
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(2)因为 = ( 1,2,0), = ( 1,0,1)，设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则 ，令 = 1，则 = = 2，所以 = (2,1,2)，
= + = 0
因为 ⊥平面 ，所以平面 的法向量可以为 = (0,1,0)，
→ →
→ →
则设两平面所成角为 ，则 cos = cos < , > = → → =
1
| | 3
，
1为锐角，所以两平面所成角的余弦值为3；
(3)由(2)知平面 的法向量为 = (2,1,2)，
又 = ( 1, 2,0)，设点 到平面 的距离为 ，

则 = 4 = 3
所以点 到平面 4的距离3．
18.(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，又因为 ⊥ ，
则以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,4,0)， (0,2,0)， (0,0,4)， (2,1,0)
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所以 = (2, 1,0)， = (2,4,0)， = (0,0,4)．
因为 = 2 × 2 1 × 4 + 0 = 0， = 0.所以 ⊥ ， ⊥
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ．
所以 ⊥平面 ．
(2)设平面 的法向量 ，由(1)可知 = = (2, 1,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )
因为 = (0,2, 4)， = (2,4, 4)．
所以 = 0
2 4 = 0

，即
= 0 2 + 4 4 = 0
,
不妨设 = 1，得 = ( 2,2,1)．
cos , = = 2×( 2)+( 1)×2+0 =
2 5
，
22+( 1)2× ( 2)2+22+1 5
又由图示知二面角 为锐角，
所以二面角 2 5的余弦值为 5 ．
(3) 设 = (0 < < 1)，即
= = ( 2 , 4 , 4 ).所以 = (2 2 , 4 4 , 4 )，即 = (2 , 4
3, 4 )．
5
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ，

所以 cos = = 2×2 (4 3)+0 = 5 ， 22+( 1)2× (2 )2+(4 3)2+( 4 )2 5
即 36 2 24 + 9 = 3，解得 = 2 23，即 = 3．
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