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2026届10月月考
数学卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 样本数据12，18，14，16，20，20的中位数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
2. 已知集合，，则的子集个数（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
4.设随机变量，则（ ）
A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70
5.若等比数列满足已知，，则的公比为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
6. 表示不超过x的最大整数，例如，，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.设抛物线的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ）
A. B. 4 C. D.3
8.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A. 与有相同图像 B. 与有相同的零点
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴
10．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 若有两个不相等的实数根，则
D. 若有两个不相等的实数根，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线方程为
13.已知双曲线的渐近线方程为，则_______．
14.函数的部分图像如图所示，若，且，则
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最大值．
16.如图，在正四棱柱中，．
点分别在棱,上，
．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
17.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.已知点A ( 2,0)，B (2,0)，动点M (x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M 的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.
19.记
(1)当时 ，求的单调区间；
(2)证明：对于任意正整数n，的单调区间不变，最小正周期不变；
(3)记，是的最小值，若对任意正整数n，都有，求b的取值范围。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C B B A D A D BCD ACD BCD
12、4x-y-3=0
13、-5
14、
15、（1）
（2）5
16.(1)由正四棱柱性质知：
如图，以B为坐标原点，以方向为x轴正方向，
以方向为y轴正方向，建立右手系。
则，
故
因此
由（1）知，
设平面的法向量为，则有，即，
取，即取，
设平面的法向量为，设
，则有,即，
取，
，
故BP=1或3
17、（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
.
（3）根据所给数据，可得列联表：
人次 人次
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得.
由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
18.解：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．
由得．记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由得．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．
（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．因此，△PQG面积的最大值为．
19.（1）
故其增区间为，，减区间为
由于,即，故当时，，，单调递增，当时，，，单调递减。故其最小正周期,又，故其最小正周期。综上，对于任意正整数n，的单调区间不变，最小正周期不变。
（3）
而，故最小正周期,故先研究时的情形
结合（1），（2）知的增区间为，，
减区间为，且最小正周期为。
故当时，，，，单增。
当时，，，，单减。
故最小正周期，故其增区间为，减区间为
故最小值为，，故

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