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南阳中学2025-2026学年第一学期第1次月考
高一级数学科试卷
一、单选题
1．给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，若，则（ ）
A．0 B．1
C．0或 D．0或或1
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．若命题“”是假命题，则可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
11．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
三、填空题
12．用列举法表示集合 ．
13．若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 cm2．
14．关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围
四、解答题
15．已知集合，求：
(1)；
(2)．
16．求下列一元二次不等式的解集
(1)
(2)
(3)
17．已知集合，集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18.已知函数.
(1)若，求的解集.
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
(3)，解关于的不等式.
19．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求的最大值.
《南阳中学2025-2026学年第一学期第1次月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A B A C D A AC ABD BD
1．C 对于①：，所以①错误；对于②：，所以②错误；
对于③：因为是无理数，即，所以③错误；对于④：因为，所以④正确
2．C 由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或．
3．A由集合，，可得，
5．A若，代入方程得，即能推出，充分性成立；若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立．
6．C 对于A：取，，满足，但不满足，故A错误；
对于B：取，，满足，但不满足，故B错误；
对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确；
对于D：取，则，故D错误；
7．D 因为时，，当且仅当时取等，
8．A 由题意可得，即，
9．AC 由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误；
因为，，所以，故A正确.
10．ABD 由，得，因为，所以，解得，
又，所以，故A正确；
因为，故，所以，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
由，得，所以，
当时，取最小值，最小值是，故C错误；
，
当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确.
11．BD 对于选项，方程为，方程没有实数根，所以选项错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则，所以是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则，所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项错误；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则，所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
12． 因为，且，所以，则，故或7，
13．8 设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则，
直角三角形的面积，取等条件为，
.
若，则不合题意；
若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则；
若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则.
15．（1）由题，(2分) 所以，(5分)(8分)
（2），（10分） 所以(13分)
16．（1）或. (4分)
所以所求不等式的解集为： （5分）
（2）.（9分）所以所求不等式的解集为：（10分）
（3）因为.由，
所以所求不等式的解集为： （15分）
（1）因为，所以，（2分）解得，（4分）
所以实数m的取值范围. （5分）
（2）若是的充分不必要条件，所以到是的真子集， （6分）
当时，由（2）可得； （8分）
当时，，即， （10分）
又，解得，（12分）又，所以.（14分）
综上，实数m的取值范围为. （15分）
（1）解：∵，∴，（1分）∴，∴，（3分）
所以不等式的解集为；（4分）
（2）∵对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，（5分）
①若，解得，不符合题意（舍），（6分）
②若，则，（7分）解得，（8分）
所以实数的取值范围是.（9分）
（3），即，∴，（11分）
①当时，解得，（12分）
②当时，有，当时，解得或，（13分）
当时，解得，（14分）
当时，解得，（15分）
当时，解得，（16分）
综上：（17分）
当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
19．（1）矩形的周长为，，可知，（2分）.（3分）
，，，
，（5分）
. （6分）
在中，由勾股定理得，即，解得.（8分）
（2）如图，由矩形的周长为，可知，，
，，，
，
.（10分）
在中，由勾股定理得，即，（11分）
解得，所以.（13分）
所以的面积为（14分）
.
由基本不等式与不等式的性质，得，（16分）
当且仅当时，即当时，的面积最大，
面积的最大值为.（17分）
答案第1页，共2页

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