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第一章　数列
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
【课前预习】
知识点一
1.次序　2.每一个数　数列{an}　首项　通项
3.有限　无限
诊断分析
(1)√ 　(2)×　(3)√
知识点二
1.n　an=f(n)　通项公式
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)①　②③④⑤　[解析] (1)A是错误的,例如常数列3,3,3,…的各项都是3;B是错误的,数列-1,0,1与数列1,0,-1中项的顺序不同,即表示不同的数列;C是错误的,{1,3,5,7}是一个集合,不是数列;根据数列的概念知,D是正确的.故选D.
变式　BC　[解析] 对于A,数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是不同的数列,故错误;对于B,由数列的定义可知正确;对于C,由数列中n∈N*可知正确;对于D,根据数列中项的个数可以分为有穷数列和无穷数列,故错误.故选BC.
探究点二
例2　C　[解析] ,,,,依次可写为,,,,,所以数列{an}的一个通项公式是an=,故选C.
变式　(1)B　(2)an=(答案不唯一)　[解析] (1)1可以写成,观察各项可知,数列的一个通项公式为an=.故选B.
(2)-1,,-,,-,…的一个通项公式为an=.
拓展　3(n-1)(n≥2)　[解析] 根据题图可得a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),…,所以an=3(n-1)(n≥2).第一章　数列
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
1.C　[解析] 数列是按一定顺序排成一列的数,和项相等与否没有关系,故A,B均错误;数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7,故C正确;数列0,2,4,6,…可记为{2n-2},n∈N*,故D错误.故选C.
2.D　[解析] A,B,C均是无穷数列,数列1,,,…,是有穷数列,故选D.
3.D　[解析] 观察可得,数列的第n项可以写为,所以数列的第12项为=2.故选D.
4.A　[解析] 由数列-1,,-,,-,…可知,该数列每项的分母是序号的平方,奇数项为负,偶数项为正,故可得该数列的一个通项公式为an=.故选A.
5.B　[解析] 将所给数列改写为,,,,…,易知=,=,=,=,…,所以第n项为,令6n-3=39,解得n=7,所以为该数列的第7项.故选B.
6.B　[解析] 因为a1=1,anan+1=2n(n∈N*),所以a2==2,a3==2,a4==4,a5==4.故选B.
7.BD　[解析] 数列按项的个数可分为有穷数列与无穷数列,即数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,故A错误;数列通项公式的表达式不是唯一的,例如,数列1,-1,1,-1,…的通项公式可以是an=(-1)n+1,也可以是an=cos(n-1)π,故B正确;构成数列的数是有顺序的,而集合中的元素是无序的,故C错误;对于D,根据数列定义知,两数列中相同的数的排列次序不相同,不是相同的数列,故D正确.故选BD.
8.AC　[解析] 对于A项,分别把n=1,2代入an=(-1)n2n,得a1=-2,a2=4,故A项正确;对于B项,把n=1代入an=(-1)n+12n,得a1=2,与数列不符,故B项错误;对于C项,分别把n=1,2代入an=6n-8,得a1=-2,a2=4,故C项正确;对于D项,把n=2代入an=4n-6,得a2=2,与数列不符,故D项错误.故选AC.
9.　[解析] ∵an+1=(n∈N*),a1=1,∴a2==,a3==.
10.9　[解析] ∵an==-,∴由-3=-,得n=9,∴-3是此数列的第9项.
11.3　[解析] 因为a1=,=,所以··…··=××…××,即=,所以a97=a1=3.
12.101　[解析] 因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10除余1,所以数列{an}为1,11,21,…,1001,数列{an}的一个通项公式为an=10n-9,n∈N*,由an=10n-9≤1009,得n≤101.8,因为n∈N*,所以此数列共有101项.
13.解:(1)因为an=(-1)n+1,所以a10=(-1)11×=-.
(2)因为an=1+cos,所以a10=1+cos=1.
14.解:(1)因为数列{an}的通项公式为an=n(n+2),所以数列{an}的第10项为a10=10×(10+2)=10×12=120,第15项为a15=15×(15+2)=15×17=255,第21项为a21=21×(21+2)=21×23=483.
(2)令an=n(n+2)=440,解得n=20,所以440是这个数列中的项,是数列的第20项;令an=n(n+2)=222,解得n=-1,不是整数,故222不是这个数列中的项.
15.B　[解析] ∵{an}是各项均为正整数的数列,且a1=3,a7=8,对任意k∈N*,ak+1=ak+1与ak+1=ak+2有且仅有一个成立,∴ai∈N*(i=2,3,4,5,6),∴ai≥1(i=2,3,4,5,6),若ai=1(i=2,3,4,5,6),∵ai-1≠0,∴ai-ai-1≠1,∴ai+1=2ai=2,∴ai+ai+1≥3.①若a2=1,则a3=2,a4≠4.当a4=1时,a5=2.若a6=1,则a7=2,与条件相矛盾;若a6=2,则a7=4,与条件相矛盾;若a6=3,则a7可以取8,此时a1+a2+…+a7=20.当a4=2时,a5=4,又a6≥1,∴a1+a2+…+a7≥21.当a4≥3且a4≠4时,a5+a6≥3,则a1+a2+…+a7≥20.②若a2=2,则a3=4,a4+a5+a6≥4,则a1+a2+…+a7≥21.③若a2=3,则a3=6,a4+a5+a6≥4,则a1+a2+…+a7≥24.④若a2≥4,则a3+a4+a5+a6≥6,则a1+a2+…+a7≥21.综上,a1+a2+…+a7的最小值为20.故选B.
16.an=(2n-1)2　[解析] 数列{2n-1}中的项为全体正奇数,对于数列{n2},当n为正偶数时,n2为偶数,当n为正奇数时,n2为正奇数,所以数列{2n-1}与数列{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到的新数列的各项分别为12,32,52,…,所以数列{an}的通项公式为an=(2n-1)2.第一章　数列
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
【学习目标】
了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
◆ 知识点一　数列及其有关概念
1.数列
按一定　　　　排列的一列数叫作数列.
2.数列的项
数列中的　　　　叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为　　　　,其中a1是数列的第1项,也叫数列的　　　　;an是数列的第n项,也叫数列的　　　　.
3.数列按项的个数分类
有穷数列: 项数　　　　的数列.
无穷数列: 项数　　　　的数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某同学从6岁到18岁,每年在生日那天测量体重,依次排成一列数,可以构成数列. (　 )
(2)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. (　 )
(3) 1,1,1,1是一个数列. (　 )
◆ 知识点二　数列的通项公式
1.定义:如果数列{an}的第n项an与　　　　之间的函数关系可以用一个式子表示成　　　　　,那么这个式子就叫作这个数列的　　　　.
2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 数列1,3,5,7,…的第10项是21. (　 )
(2)在数列{an}中,若an+1=2an,n∈N*,则a2=2a1.(　 )
(3) 每一个数列都能写出通项公式. (　 )
◆ 探究点一　数列的概念与分类
例1 (1)下列有关数列的说法中正确的是 (　 )
A.同一个数列的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
(2)已知下列数列:
①0,0,0,0,0,0;
②0,-1,2,-3,4,-5,…;
③0,,,…,,…;
④1,0.2,0.22,0.23,…;
⑤0,-1,0,…,cos,….
其中,　　　　是有穷数列,　　　　是无穷数列(填序号).
变式 (多选题)下列结论中正确的是 (　 )
A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列
B.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数
C.数列的图象是一系列孤立的点
D.数列的项数是无限的
[素养小结]
1.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察该数列的项数是有限的还是无限的.若数列的项数有限,则是有穷数列,否则为无穷数列.
2.数列1,2,…,n是有穷数列, 数列1,2,…,n,…是无穷数列.
3.注意数列与集合的表示有本质的区别:数列有序而集合无序,数列的项可以重复而集合不能有重复元素.
◆ 探究点二　求数列的通项公式
例2 若数列{an}的前五项分别为,,,,,则{an}的通项公式可能是 (　 )
A.an=　　 　　B.an=
C.an= D.an=
变式 (1)数列1,,,,,…的一个通项公式是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.an= B.an=
C.an= D.an=
(2)数列-1,,-,,-,…的一个通项公式是　　　　　　.
[素养小结]
根据数列的前几项求其通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构,如都化成分数,根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.
(3)对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.
(4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
(5)对于选择题,一般可以对n赋值,然后逐一排除.
拓展 如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则an=　　　　. 第一章　数列
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
一、选择题
1.下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.数列中的项不能相等
B.数列中的项与顺序无关
C.数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
2.在下列数列中,是有穷数列的为 (　 )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
3.[2024·山西长治高二期末] 在数列,,,2,,…中,根据前5项的规律可得第12项为(　 )
A.2 B.
C. D.2
4.数列-1,,-,,-,…的一个通项公式为 (　 )
A.an= B.an=
C.an= D.an=
5.已知数列,3,,,…,则是这个数列的 (　 )
A.第8项 B.第7项
C.第6项 D.第5项
6.[2024·广东广州越秀区高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则a5=(　 )
A.2 B.4 C.8 D.16
7.(多选题)下列结论中正确的是 (　 )
A.数列的项数是无限的
B.数列通项公式的表达式不是唯一的
C.数列2,5,7可表示为{2,5,7}
D.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1不是同一数列
8.(多选题)[2024·呼和浩特高二期末] 数列-2,4,…的通项公式可能是 (　 )
A.an=(-1)n2n B.an=(-1)n+12n
C.an=6n-8 D.an=4n-6
二、填空题
9.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则a3=　　　　.
10.设数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则-3是此数列的第　　　　项.
11. 在数列{an}中,a1=,=,则a97=　　　　　.
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1009这1009个数中,能被2除余1且被5除余1的数,按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则该数列共有　　　　项.
三、解答题
13.根据下列数列{an}的通项公式,写出数列的第10项.
(1)an=(-1)n+1;
(2)an=1+cos.
14.已知数列{an}的通项公式为an=n(n+2).
(1)求这个数列的第10项、第15项及第21项.
(2)判断440和222是不是这个数列中的项 如果是,求出是第几项;如果不是,请说明理由.
15.[2024·北京师大附中高二期末] 已知{an}是各项均为正整数的数列,且a1=3,a7=8,对任意k∈N*,ak+1=ak+1与ak+1=ak+2有且仅有一个成立,则a1+a2+…+a7的最小值为 (　 )
A.18 B.20
C.21 D.23
16.将数列{2n-1}与数列{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{an},则数列{an}的通项公式为　　　　　　. (共19张PPT)
1.1 数列的概念
探究点一 数列的概念与分类
探究点二 求数列的通项公式
【学习目标】
了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）.
知识点一 数列及其有关概念
1.数列
按一定______排列的一列数叫作数列.
次序
2.数列的项
数列中的__________叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成， ，
， ，， 或简记为_________，其中 是数列的第1项，也叫数列的
______；是数列的第 项，也叫数列的______.
每一个数
数列
首项
通项
3.数列按项的个数分类
有穷数列: 项数______的数列.
无穷数列: 项数______的数列.
有限
无限
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）某同学从6岁到18岁,每年在生日那天测量体重,依次排成一列数,可以构成
数列.( )
√
（2）数列1,2,3,4, , 是无穷数列.( )
×
（3）1，1，1，1是一个数列.( )
√
知识点二 数列的通项公式
1.定义:如果数列的第项 与___之间的函数关系可以用一个式子表示成
__________,那么这个式子就叫作这个数列的__________.
通项公式
2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数列1，3，5，7， 的第10项是21. ( )
×
（2）在数列中，若，，则 .( )
√
（3）每一个数列都能写出通项公式.( )
×
探究点一 数列的概念与分类
例1（1） 下列有关数列的说法中正确的是( )
D
A.同一个数列的任意两项均不可能相同
B.数列，0，1与数列1，0， 是同一个数列
C.数列1，3，5，7可表示为
D.数列中的每一项都与它的序号有关
[解析] A是错误的，例如常数列3，3，3， 的各项都是3；
B是错误的，数列，0，1与数列1，0， 中项的顺序不同，即表示不同的数列；
C是错误的， 是一个集合，不是数列；
根据数列的概念知，D是正确的.故选D.
（2）已知下列数列：
①0,0,0,0,0,0；
②0，,2，,4，， ；
③0，,， , ,…；
④1,,,， ；
⑤0，,0， ，， .
其中，____是有穷数列，__________是无穷数列（填序号）.
①
②③④⑤
变式 （多选题）下列结论中正确的是( )
BC
A.数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集,2,3, , ）上的函数
C.数列的图象是一系列孤立的点
D.数列的项数是无限的
[解析] 对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；
对于B，由数列的定义可知正确；
对于C，由数列中 可知正确；
对于D，根据数列中项的个数可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.故选 .
［素养小结］
1.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察该数列的项数是有限的
还是无限的.若数列的项数有限，则是有穷数列，否则为无穷数列.
2.数列1,2, ,是有穷数列, 数列1,2, ,, 是无穷数列.
3.注意数列与集合的表示有本质的区别：数列有序而集合无序，数列的项可以
重复而集合不能有重复元素.
探究点二 求数列的通项公式
例2 若数列的前五项分别为，，，，，则 的通项公式可能是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，，，，依次可写为，，，， ，
所以数列的一个通项公式是 ，故选C.
变式（1） 数列1，，，，， 的一个通项公式是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 1可以写成，观察各项可知，数列的一个通项公式为 .故选B.
（2）数列,,,,， 的一个通项公式是_________________________．
（答案不唯一）
[解析] ,,,,， 的一个通项公式为 .
［素养小结］
根据数列的前几项求其通项公式的解题思路
（1）先统一项的结构，如都化成分数，根式等.
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间
的函数解析式.
（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或 处
理符号.
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，
如三角函数等.
（5）对于选择题，一般可以对 赋值，然后逐一排除.
拓展 如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边（包括两个端点）有
个点,相应的图案中总的点数记为,则 ________________.
. .
[解析] 根据题图可得, ,
,, ,所以 .
1.数列与集合的区别
数列 集合
各项必须是数 元素可以是数字，也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的．如数列1， 2，3与数列1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性．如 ，2，
，3，
同一个数在一个数列中可以重复出 现，如2，2，2，2， 集合中的元素具有互异性．如2，2，
2，2， 组成的集合只能写成
2.（1）数列的项与项数
数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的
数，它是一个函数值，即 ；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是
函数值对应的自变量的值，即 .
（2）数列表示法的理解
数列表示数列，，， ，， ，不是表示一个集合，只是借用了
集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．
3.数列的通项公式
通项公式反映的是数列的第项与之间的函数关系，可记为 .通项
公式是数列的一种主要表示方法，确定数列的通项公式和应用通项公式处理问
题是数列的两类主要问题，是学习的重点．但要注意：不是每个数列都能写出
通项公式，且数列的通项公式在形式上不一定唯一．
例 [2024·呼和浩特高二期末] 若数列满足,，则
( )
C
A.11 B. C. D.
[解析] 由,，得，解得 .
由，可得，
因此 是周期为4的数列，所以 .故选C.

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