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§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
【课前预习】
知识点一
1.等差　公差　2.an+1-an=d
诊断分析
(1)√　(2)×
知识点二
a1+(n-1)d
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)AB　[解析] (1)选项A中,后一项减前一项所得差均为0,是等差数列;选项B中,后一项减前一项所得差都是1,是等差数列;选项C中,后一项减前一项所得差都是2,是等差数列;选项D中,1-0≠3-1,不是等差数列.故选D.
(2)根据等差数列的定义,依次判断各选项.
A中,满足4-1=7-4=10-7=3(常数),所以是等差数列;
B中,满足lg 4-lg 2=lg 8-lg 4=lg 16-lg 8=lg 2(常数),所以是等差数列;
C中,因为24-25=-16≠23-24=-8,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;
D中,a1=1,a2=3,a3=4,a2-a1=2,a3-a2=1,所以{an}不是等差数列.故选AB.
探究点二
例2　解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则由题意可知解得所以数列{an}的通项公式为an=-2+(n-1)×3=3n-5,n∈N*.
(2)由an=13,得3n-5=13,解得n=6.
变式　(1)A　(2)8　[解析] (1)设数列{an}的公差为d,
由题得所以所以数列{an}的通项公式为an=8+(n-1)×(-2)=-2n+10.故选A.
(2)由题意知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
所以am=1+2(m-1)=m+7,解得m=8.
探究点三
例3　解:(1)由题意知an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,3为常数,所以这个数列为等差数列.
(2)由题意知bn+1-bn=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,2n+2不是常数,所以这个数列不是等差数列.
(3)当n≥3时,cn=cn-1+2,即cn-cn-1=2,
而c2-c1=0不满足cn-cn-1=2,所以{cn}不是等差数列.
变式　解:因为当n≥2时,an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,
p是一个与n无关的常数,所以数列{an}是等差数列.
拓展　解:(1)易知an≠0,当n≥2时,由an·an-1=2·an-1-1得an=2-,
又a1=3,
所以a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.
(2)当n≥2时,由an·an-1=2·an-1-1,得(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
即-=1,所以数列是等差数列.
又=,所以=+(n-1)×1=,所以an-1=,所以an=.§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
【学习目标】
理解等差数列的概念和通项公式的意义.
◆ 知识点一　等差数列的有关概念与表示
1.等差数列与公差:对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为　　　　数列,称这个常数为等差数列的　　　　,通常用字母d表示.
2.等差数列的递推公式:　　　　　　(d为常数,n∈N*).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列16,32,48,64,80,96,112,128,…,320为等差数列. (　 )
(2)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列.(　 )
◆ 知识点二　等差数列的通项公式及应用
通项公式:若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an=kn+b(n∈N*,且k,b为常数),则数列{an}一定是等差数列. (　 )
(2)若数列{an}满足an=n2,n∈N*,则数列{an}是等差数列. (　 )
(3)在等差数列{an}中,an=3n+2,n∈N*,则等差数列{an}的公差是3. (　 )
◆ 探究点一　等差数列的概念
例1 (1)下列数列中不是等差数列的是 (　 )
A.0,0,0,…,0,…
B.-2,-1,0,…,n-3,…
C.1,3,5,…,2n-1,…
D.0,1,3,…,,…
(2)(多选题)下列数列中,是等差数列的是 (　 )
A.1,4,7,10
B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22
D.通项公式为an=的数列{an}
[素养小结]
判断一个数列是不是等差数列,就是判断该数列从第2项起每一项与前一项的差是否为同一个常数,即验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数.
◆ 探究点二　等差数列的通项公式
例2 已知数列{an}是等差数列,且a5=10,a12=31.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若an=13,求n的值.
变式 (1)已知数列{an}为等差数列,a4=2,a7=-4,则数列{an}的通项公式为 (　 )
A.an=-2n+10 B.an=-2n+5
C.an=-n+10 D.an=-n+5
(2)已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,若am=m+7,则m=　　　　.
[素养小结]
等差数列的通项公式及其应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,可求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所要求的项.
◆ 探究点三　等差数列的判定和证明
例3 判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2,n∈N*;
(2)在数列{bn}中,bn=n2+n,n∈N*;
(3)数列{cn}满足c1=c2=1,cn=cn-1+2(n≥3).
变式 已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,且p≠0,判断数列{an}是否是等差数列.
[素养小结]
要判断数列{an}是否为等差数列可以用定义法,也可以直接看通项公式是否为an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)的形式,若符合该形式,则该数列为等差数列,否则不是等差数列.
拓展 已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2·an-1-1,n≥2.
(1)求a2,a3,a4;
(2)证明数列是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.(共25张PPT)
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
探究点一 等差数列的概念
探究点二 等差数列的通项公式
探究点三 等差数列的判定和证明
【学习目标】
理解等差数列的概念和通项公式的意义.
知识点一 等差数列的有关概念与表示
1.等差数列与公差:对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都
是同一个常数,那么称这样的数列为______数列,称这个常数为等差数列的______,
通常用字母 表示.
等差
公差
2.等差数列的递推公式：______________为常数, .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数列16,32,48,64,80,96,112,128, ,320为等差数列.( )
√
（2）若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列
一定是等差数列.( )
×
知识点二 等差数列的通项公式及应用
通项公式:若首项是,公差是,则等差数列的通项公式为 _____________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足，且,为常数,则数列 一定是
等差数列.( )
√
（2）若数列满足,，则数列 是等差数列.( )
×
（3）在等差数列中,,，则等差数列 的公差是3.( )
√
探究点一 等差数列的概念
例1（1） 下列数列中不是等差数列的是( )
D
A.0，0，0， ，0， B.，，0， ，，
C.1，3，5， ，， D.0，1，3， ，，
[解析] 选项A中，后一项减前一项所得差均为0，是等差数列；
选项B中，后一项减前一项所得差都是1，是等差数列；
选项C中，后一项减前一项所得差都是2，是等差数列；
选项D中， ，不是等差数列.故选D.
（2）（多选题）下列数列中，是等差数列的是( )
AB
A.1，4，7，10
B.,,,
C.,,,
D.通项公式为的数列
[解析] 根据等差数列的定义，依次判断各选项.
A中，满足 （常数），所以是等差数列；
B中，满足 （常数），所以是等差数列；
C中，因为 ，不满足等差数列的定义，
所以不是等差数列；
D中，，，，，，
所以 不是等差数列.故选 .
［素养小结］
判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列从第2项起每一项与前一项的差
是否为同一个常数，即验证是不是一个与 无关的常数.
探究点二 等差数列的通项公式
例2 已知数列是等差数列,且, .
（1）求数列 的通项公式;
解:设等差数列的公差为 ,
则由题意可知解得
所以数列 的通项公式为， .
（2）若,求 的值.
解:由,得,解得 .
变式（1） 已知数列为等差数列，,，则数列 的通项公
式为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设数列的公差为 ，
由题得所以
所以数列 的通项公式为 .故选A.
（2）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，则
___.
8
[解析] 由题意知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，解得 .
［素养小结］
等差数列的通项公式及其应用
（1）已知，，， 中的任意三个量，可求出第四个量.
（2）由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数
是不是该数列中的项.
（3）根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”和的方程组，求出
和 ，从而确定通项公式，求得所要求的项.
探究点三 等差数列的判定和证明
例3 判断下列数列是否为等差数列.
（1）在数列中,， ;
解:由题意知 ,3为常数,所以这个数列为
等差数列.
（2）在数列中,， ；
解:由题意知, 不是常
数,所以这个数列不是等差数列.
（3）数列满足， .
解:当时，，即 ，
而不满足，所以 不是等差数列.
变式 已知数列的通项公式为，其中，是常数，且 ，
判断数列 是否是等差数列.
解:因为当 时，
，
是一个与无关的常数，所以数列 是等差数列.
［素养小结］
要判断数列 是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为
，为常数， 的形式，若符合该形式，则该数列为等差数
列，否则不是等差数列.
拓展 已知数列满足，， .
（1）求，， ；
解:易知，当时，由得 ，
又 ，所以，， .
（2）证明数列是等差数列，并求出数列 的通项公式.
解:当时，由 ，得
，
即，所以数列 是等差数列.
又，所以，所以 ，
所以 .
1.等差数列定义的注意点
（1）对给定的等差数列,其公差 一定是由后一项减前一项所得的差,而不能用前
一项减后一项;
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均与其前面一项
作差,如若不然,从第3项（或第4项，第5项， ）起作差,则势必遗漏前面的若干项;
（3）定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个,其一是强调作差的顺序,
即后面的项减前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
2.通项公式的变形
对任意的，，在等差数列中，有 ，
，两式相减有 ，所以
（其中，的关系可以是，， ），进而
可以得到 ．
例1 若数列的通项公式为,证明数列 为等差数列.
证明:由 ,得
，
所以数列 为等差数列.
例2 [2024·湖南部分学校高二期末]在数列中，已知， ，
若，则 ( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由，，得，则是以 为首项，
2为公差的等差数列．所以，所以 .
由，得 ．故选C.
例3 若数列是等差数列,，，则 ____．
[解析] 令，因为， ，
所以，，可得等差数列的公差 ，
所以 ，所以，从而 ．§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
1.C　[解析] 对于A,-≠-,故A中数列不是等差数列;对于B,lg 6-lg 5≠lg 7-lg 6,故B中数列不是等差数列;对于C,-1=-,故C中数列是等差数列;对于D,3-2≠5-3,故D中数列不是等差数列.故选C.
2.A　[解析] 易知a1=2-1=1,所以此数列的首项为1.又因为an+1-an=2-(n+1)-(2-n)=-1,所以数列{an}是首项为1,公差为-1的等差数列.故选A.
3.B　[解析] 设数列{an}的公差为d,由题意得解得故选B.
4.C　[解析] 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以数列{an}是等差数列,公差d=,所以a3=a8-5d=-5×=2.故选C.
5.D　[解析] 依题意,令该等差数列为{an},则an=-24+(n-1)d,
因为数列{an}从第10项开始为正数,所以即解得6.B 　[解析] 由题意知,a1=2,d=8,所以an=2+8(n-1)=8n-6,等差数列{an}中每两项之间插入k项,构成新的等差数列{bn},当k=3时,b1=2,b5=a2=10,所以等差数列{bn}的公差为==2,故bn=2+2(n-1)=2n.故选B.
7.AC　[解析] 设数列{an}的公差为d,因为a2=11,a5=5,所以解得所以an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15,故A正确;由-20=-2n+15,得n= N*,故B错误;因为d<0,所以数列{an}为递减数列,故C正确;由an=15-2n可知数列{an}有最大项a1=13,没有最小项,故D错误.故选AC.
8.ABC　[解析] 设{an}的公差为d.对于A,a2(n+1)-a2n=a2n+2-a2n=2d,{a2n}是等差数列,故A正确;对于B,当n≥2时,(an+an+1)-(an-1+an)=an+1-an-1=2d,{an+an+1}是等差数列,故B正确;对于C,当n≥2时,3an+1-(3an-1+1)=3(an-an-1)=3d,{3an+1}是等差数列,故C正确;对于D,若an=n-5,则|an|=|n-5|,此时{|an|}不是等差数列,故D错误.故选ABC.
9.2　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,a5=a3+a2,∴1+4d=1+2d+1+d,解得d=1,∴a2=a1+d=2.
10.-n+3　[解析] 由题意知a1=2,an+1-an=-1,所以an=a1+(n-1)×(-1)=2-n+1=-n+3.
11.　[解析] 设等差数列{an}的公差为d.∵a5=2a2,∴a1+4d=2a1+2d,∴a1=2d≠0,∴===.
12.4　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,d>0,则a3=a2+d=2+d,a6=a2+4d=2+4d,
由2(a3+a6)=a3·a6,得2(2+d+2+4d)=(2+d)(2+4d),即2(4+5d)=4+8d+2d+4d2,即8+10d=4d2+10d+4,
即4d2-4=0,得d=1,所以2a5-a6=2(a2+3d)-(a2+4d)=2×(2+3)-(2+4)=4.
13.解:(1)由已知得解得
(2)由(1)知∴an=a1+(n-1)d=-40+(n-1)·6=6n-46,∵1014.解:(1)证明:∵bn+1-bn=-===,b1==1,∴数列{bn}是首项为1,公差为的等差数列.
(2)由(1)知bn=n+,∵bn=,∴an-1=,∴an=,n∈N*.
15.10　[解析] 由a1=2,am+n=am+an(m,n∈N*),令m=1,则an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,即an=2+(n-1)×2=2n.
又k为正整数,所以akak+1=2k×2(k+1)=440,即k(k+1)=110,解得k=10或k=-11(舍去).
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由得所以an=5+(n-1)×2=2n+3.
(2)由(1)可知bn==,假设存在正整数m,使得b2m=2bm+1,则=+1,即2m2-6m+3=0,解得m= N*,所以假设不成立,即不存在正整数m,使得b2m=2bm+1.§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
一、选择题
1.下列数列中是等差数列的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.,,
B.lg 5,lg 6,lg 7
C.1,,
D.2,3,5
2.若数列{an}的通项公式为an=2-n,则此数列 (　 )
A.是公差为-1的等差数列
B.是公差为1的等差数列
C.是首项为2的等差数列
D.是公差为n的等差数列
3.在等差数列{an}中,a8=6,a11=0,则a1的值为 (　 )
A.18 B.20
C.22 D.24
4.[2024·宁夏银川一中高二期末] 已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=,则a3= (　 )
A.1 B.
C.2 D.
5.首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是 (　 )
A.d> B.d<3
C.≤d<3 D.6.[2024·广东深圳外国语学校高二月考] 已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn},当k=3时,bn= (　 )
A.n B.2n
C.3n D.2n+1
7.(多选题)若{an}为等差数列,a2=11,a5=5,则下列说法正确的是 (　 )
A.an=15-2n
B.-20是数列{an}中的项
C.数列{an}为递减数列
D.数列{an}既无最大项,也无最小项
8.(多选题)已知数列{an}是等差数列,则下面的数列中必为等差数列的是 (　 )
A.{a2n} B.{an+an+1}
C.{3an+1} D.{|an|}
二、填空题
9.已知等差数列{an}的首项为1,且a5=a3+a2,则a2=　　　　.
10.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项公式为an=　　　　.
11.已知等差数列{an}的各项均不为0,若a5=2a2,则= 　　　　.
12.[2024·江苏淮安高二期末] 已知等差数列{an}的各项都是正数,若a2=2,2(a3+a6)=a3·a6,则2a5-a6的值为　　　　.
三、解答题
13.在等差数列{an}中,a11=20,a22=86.
(1)求数列{an}的公差d和a1;
(2)数列{an}中满足1014.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),n∈N*,a1=2,令bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
15.[2024·上海七宝中学高二期末] 在数列{an}中,a1=2,am+n=am+an(m,n∈N*),若akak+1=440,则正整数k=　　　　.
16.已知等差数列{an}中,a2=7,a5=13.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=,是否存在正整数m,使得b2m=2bm+1 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

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