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2025学年第一学期十三校联考数学学科初三测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1． 抛物线 的顶点在（　　）
A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
3．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（　　）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，中，点D，E分别是边AB，AC的靠近A的三等分点，若，则的周长为（　　）
A．6 B．12 C．9 D．8
第5题图 第6题图
6．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A．4cm B． C． D．
7．已知二次函数（为常数）的图象经过点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．与的值有关
8．如图3，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图
9．如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是　 　．
12．若3x=5y（y≠0），则的值为　 　.
13．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ．
第13题图 第15题图
14．已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则　 　（结果保留根号）．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为　 　.
16．如图，在矩形中，平分交于，连结，，在边上取一点使，连结，交于点，则的值为 若，则的值为 ．
三、解答题
17．已知线段a 、b 、c满足a：b：c =3：2：4，且a+2b+c=33 .
（1）求a 、b 、c的值；
（2）若线段x是线段a 、b的比例中项，求x的值；
18．已知二次函数，当时，；当时，．
（1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标；
（2）此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标．
19．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求与的相似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于．
20．如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、．
（1）当时，求的值；
（2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD∥AC ；
（2）若EF=4，DF=2，求⊙O的半径．
22．如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线l，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行，P为上的一点（不与点C，D重合），过点P作直线l，，垂足分别为E，F，即四边形是矩形，过点D作，垂足为Q，延长与相交于点R．
（1）证明．
（2）若道闸长米，宽米，点D距地面米，米，米，米，求的长．
23．已知二次函数是常数．
求二次函数图象经过的定点的坐标；
已知函数图象过．
若函数图象与直线只有一个公共点，求的值；
求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为．
24．如图，四边形的对角线，相交于点，，，，，．
填空：与的数量关系为______；
求的值；
将沿翻折，得到如图，连接，与相交于点若，求的长．
2025学年第一学期十三校联考数学学科初三测试卷答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】18
14．【答案】
15．【答案】22
16．【答案】
17．【答案】（1）解： 设定未知数：设a=3 k，b=2k，c=4k，代入a+2b+c=33 ，
解方程： 3k+2·2k+4k=33，即3k+4k+4k=33，得到11k=33，
解得k=3 ，
所以得到a=9，b=6，c=12
（2）解：根据比例中项的定义，线段x满足x2=ab。代入a=9，b=6，
解得
18．【答案】（1）解：把，；当，代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，，
∵在的左边，
∴，，
令，则，
∴．
19．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：与的位似比等于；
（3）解：如图所示，即为所求．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴.
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵，
∴四边形是平行四边形．
21．【答案】（1）证明：∵ AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB．
∴∠C=∠ODB．
∴OD∥ AC．
· AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°
∴∠OFB=∠AEB=90°．
∴OD⊥BE．
（2）∵OD⊥BE，
∴BF=EF=4．----分
设的半径为r，则OF=r-2．
在Rt△BOF中，∵BF2+OF2=OB2，
∴(r-2)2+42=r2．----5 分
解得r=5，即⊙O的半径为5．
22．【答案】（1）解：，理由如下，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如图，延长交直线l于点G，可知米，米，
米；
②设米，
米，米，
米，
，
，
米，
，
解得：，
米．
23．【答案】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
∴和谐点都在上，
，
解得，
上的和谐点为；
（2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
，
联立①②，得，
②，
，
其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
时，函数的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
实数的取值范围为：．
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：为定值，理由如下：
如图，分别过E，F作，垂足分别为G，H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴；
（3）解：如图，过点C作于点M，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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