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第2课时　等差数列的性质及实际应用
【课前预习】
知识点一
等差中项
诊断分析
(1)√　(2)√
知识点二
1.(1)d　(2)cd　(3)pd1+qd2
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√
知识点三
1.孤立的点　2.d>0　递增　d<0　递减　d=0　常
诊断分析
(1)√　(2)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)4　(2)C　[解析] (1)由等差中项的定义可得a==4.
(2)设插入的3个数依次为a1,a2,a3,即3,a1,a2,a3,15成等差数列,因此2a2=3+15,解得a2=9,
所以插入的3个数之和为a1+a2+a3=3a2=27.
故选C.
变式　21　[解析] 由an-1+an+1=2an (n≥2)知,数列{an}是等差数列.设该数列的公差为d,则解得所以a8=a1+7d=+7×=21.
探究点二
例2　(1)B　(2)20　[解析] (1)由等差数列的性质可知a2+a10=a3+a9,则4+a10=12,得a10=8.故选B.
(2)由题意知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a3+a8)=20.
变式　(1)D　(2)27　[解析] (1)由题意知a5+a15=3,又{an}是等差数列,所以a3+a8+a12+a17=2(a5+a15)=6.故选D.
(2)方法一:由等差数列的性质可知,数列a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9是等差数列,所以2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9),则a3+a6+a9=2×33-39=27.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,则(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=(a2-a1)+(a5-a4)+(a8-a7)=3d=-6,解得d=-2,所以a3+a6+a9=a2+d+a5+d+a8+d=27.
拓展　B　[解析] 在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq成立,故必要性满足;取an=0,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q不一定成立,故充分性不满足.所以“am+an=ap+aq”是“m+n=p+q”的必要不充分条件.故选B.
探究点三
例3　(1)D　[解析] 因为点P(an,an+1)是函数y=x+图象上的点,所以an+1-an=,又a1=1,所以数列{an}是以为公差,1为首项的等差数列,所以a9=1+8×=5,故选D.
(2)解:①设{an}的公差为d,因为a2=5,a1+a4=8,
所以a2-d+a2+2d=8,
即10+d=8,所以d=-2.
所以an=a2+(n-2)d=5+(n-2)(-2)=9-2n.
②由①知an=9-2n,n∈N*,故数列{an}的图象如图中各点所示.
③由①可知d<0,所以数列{an}是递减数列.
变式　(1)4　[解析] 等差数列{an}的各项均为正整数,则数列{an}为递增数列,公差d∈N,
因为a1=a9-8d=2020-8d为正整数,所以a1关于d递减,
又2020=252×8+4,所以当d=252时,a1取得最小值4.
(2)解:①等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-,
则an=16-(n-1)=-n+.
由-n+<0,得n>,又n∈N*,所以n≥23,即从第23项开始出现负数.
②由等差数列{an}的通项公式为an=-n+,
可得|an|==
m(n)=-n+(n≤22,n∈N*)在n=22时取得最小值,
t(n)=n-(n≥23,n∈N*)在n=23时取得最小值,
则当n=22时,|an|==取得最小值.
探究点四
例4　解:设体育场该角看台第n排的座位个数为an,则a1,a2,…,an成等差数列,设公差为d,
由题意可得a3=10,a9=28,
即解得
所以a12=4+(12-1)×3=37.
故体育场该角看台的第12排有37个座位.
变式　(1)D　(2)10　[解析] (1)设所给十二节气自冬至当日起的最短日影长构成的等差数列为数列{an},则由题可知a4=9.5,a7=6,所以a10=2a7-a4=2.5,即立夏当日的最短日影长为2.5尺.故选D.
(2)设每人所得面包的个数从小到大依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=100,所以a=20.因为a-2d+a-d=(a+a+d+a+2d),所以40-3d=(60+3d),所以d=5,所以最少的一份面包的个数为a-2d=10.第2课时　等差数列的性质及实际应用
1.A　[解析] 因为在等差数列{an}中,a3+a5=4,所以a4==2,故选A.
2.A　[解析] 由an=得数列{an}(n∈N*,n≤6)是以6为首项,3为公差的等差数列,由等差数列公差的几何意义知,通过该数列图象上所有点的直线的斜率k=3.故选A.
3.D　[解析] 设插入的5个数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则数列-3,a1,a2,a3,a4,a5,15成等差数列,因此2a3=-3+15=12,解得a3=6,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=30.故选D.
4.B　[解析] 设该女子每天织布的尺数构成的数列为{an},由题设可知{an}为等差数列,且a1=5,a30=1,故公差d==-,故第11天织布的尺数为a1+(11-1)×=5-=,故选B.
5.B　[解析] 设该数列共有n项,依题意有a1+a2+a3=21,即3a2=21,可得a2=7;an+an-1+an-2=93,即3an-1=93,可得an-1=31.因为该数列的公差为2,所以=2,即=2,解得n=15.故选B.
6.C 　[解析] 若等差数列{an}的公差d>0,则数列{an}为递增数列,所以存在无限项an满足an>2023,即充分性成立;反之,由等差数列{an}的公差d≠0,可知数列{an}为递增数列或递减数列,若存在无限项an满足an>2023,则数列{an}为递增数列,则d>0,即必要性成立.所以“d>0”是“存在无限项an满足an>2023”的充要条件.故选C.
7.CD　[解析] 根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以101a51=0,所以a1+a101=a3+a99=2a51=0.设等差数列{an}的公差为d,因为a1>0,所以d<0,所以a51=a50+d8.BC　[解析] 因为a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),所以a3=8,而2a2≠a1+a3,故A错误.因为an-an+2=2(n∈N*),所以该数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列.当n=2k,k∈N*时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,k∈N*;当n=2k-1,k∈N*时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,k∈N*.故B,C正确.因为a2+a3=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC.
9.42　[解析] 由a1=2,a3=8可得公差d=3,所以a5=a1+4d=14,故a4+a5+a6=3a5=42.
10.36　[解析] 因为a5+a8=a2+a11,所以a8-a2=a11-a5=9,因此,-=(a8-a2)(a8+a2)=9×2a5=36.
11.7　[解析] 由题意得a1+a7=2a4=14,则a4=7.设数列{an}的公差为d,则++=(a4-d)2++(a4+d)2=2d2+147,所以当d=0时,++取得最小值,此时a2024=a4=7.
12.30　[解析] 设这12个节气的最短日影长依次为a1尺,a2尺,…,a12尺,a1,a2,…,a12为等差数列,设其公差为d,根据题意有a1+a4+a7=31.5,a7=7.5,即解得所以a7+a8+a9+a10+a11+a12=6a1+51d=30,即这十二个节气中后六个最短日影长之和为30尺.
13.解:因为a6=4,a14=64,且a6与a14的等差中项为x,
所以x==34,
又a6与x的等差中项为y,所以y==19,
所以x+y=53.
14.解:(1)在等差数列{an}中,a2+a10=a4+a8=2a6,
∴a2+a4+a6+a8+a10=5a6=90,
∴a6=18,
∴a9-a12=(2a9-a12)=(a6+a12-a12)=a6=9.
(2)∵a1+2a8+a15=4a8=64,
∴a8=16,
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=16.
15.135　[解析] 所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{an},
且首项为2,公差为3,则an=2+3(n-1)=3n-1.
所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{bn},
且首项为2,公差为5,则bn=2+5(n-1)=5n-3.
把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排列,
组成首项为2,公差为15的等差数列{cn},则cn=2+15(n-1)=15n-13,
由cm=15m-13<2024(m∈N*),得m<,故m的最大值为135.
16.解:(1)因为m=1,所以f(x)=x2+1, 因为a1=0,所以a2=f(a1)=f(0)=1,a3=f(a2)=f(1)=2,a4=f(a3)=f(2)=5.
(2)方法一:假设存在实数m,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列.因为a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,a4=f(m2+m)=+m,a2,a3,a4成等差数列,所以2a3=a2+a4, 即2(m2+m)=m++m,化简得m2(m2+2m-1)=0,解得m=0或m=-1±. 当m=0时,a2,a3,a4的公差为0,不合题意;当m=-1±时,a2,a3,a4的公差不为0,符合题意.所以存在m=-1±,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列.
方法二:假设存在实数m,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列,则a3-a2=a4-a3,即+m-a2=+m-a3, 所以(-)-(a3-a2)=0,即(a3-a2)(a3+a2-1)=0.因为公差d≠0,所以a3-a2≠0,所以a3+a2-1=0,即m2+m+m-1=0,解得m=-1±.经检验,此时a2,a3,a4构成的等差数列的公差不为0.所以存在m=-1±,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列.第2课时　等差数列的性质及实际应用
【学习目标】
体会等差数列与一元一次函数的关系.
◆ 知识点一　等差中项
如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的　　　　,并且A=.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若2b=a+c,则c,b,a三个数成等差数列. (　 )
(2)任意两个实数都存在等差中项. (　 )
◆ 知识点二　等差数列的性质
1.等差数列所有项的性质:
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则{c+an}(c为任意常数)是公差为　　　　的等差数列;
(2)若数列{an}是公差为d的等差数列,则{c·an}(c为任意常数)是公差为　　　　的等差数列;
(3)若数列{an},数列{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,且它们的项数相同,则数列{pan+qbn}(p,q为任意常数)是公差为　　　　　　的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am+an=ap+aq=2ak;
(2)在等差数列中,下标成等差数列的项仍是等差数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等差数列{an}中,a2+a4=a6. (　 )
(2)若等差数列{an}的公差为d,则数列{an+3}的公差为d+3. (　 )
(3)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列. (　 )
◆ 知识点三　从函数的角度研究等差数列
1.图象:等差数列{an}的通项公式可写成an=dn+(a1-d).点(n,an)分布在一条以d为斜率的直线上,是这条直线上一列　　　　.
2.等差数列单调性:在等差数列{an}中,当　　　时,数列{an}是　　　数列;当　　　时,数列{an}是　　　数列;当　　　时,数列{an}是　　　数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　 )
(2)若函数y=f(x)是一次函数,且该函数的图象过第二、四象限,数列{an}的通项公式为an=f(n),则数列{an}是递减的等差数列. (　 )
◆ 探究点一　等差中项
例1 (1)在等差数列中,若a是2和6的等差中项,则a=　　　　.
(2)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.21 B.24
C.27 D.30
变式 已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=　　　　.
[素养小结]
实数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),该条件可用来进行等差数列的判定或求解有关等差中项的问题.如要证明数列{an}为等差数列,可通过证明对任意的n∈N*,都有2an+1=an+an+2来实现.
◆ 探究点二　等差数列的性质
例2 (1)在等差数列{an}中,已知a3+a9=12,a2=4,则a10= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.8 C.3 D.6
(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=　　　　.
变式 (1)已知等差数列{an}中,a5,a15是函数f(x)=x2-3x-2的两个零点,则a3+a8+a12+a17=(　 )
A.2 B.3
C.4 D.6
(2)在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=　　　　.
[素养小结]
解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列的性质;二是利用等差数列的通项公式,转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
拓展 [2024·贵州铜仁高二期末] 在等差数列{an}中,m,n,p,q∈N*,则“am+an=ap+aq”是“m+n=p+q”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
◆ 探究点三　等差数列与一次函数的关系
例3 (1)已知数列{an}中,a1=1,点P(an,an+1)是函数y=x+图象上的点,则a9= (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)[2024·江苏淮安高二期末] 已知等差数列{an}中,a2=5,a1+a4=8.
①求数列{an}的通项公式;
②画出数列{an}的图象;
③判断数列{an}的增减性.
变式 (1)已知等差数列{an}的各项均为正整数,且a9=2020,则a1的最小值是　　　　.
(2)已知等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-.
①等差数列{an}从第几项开始出现负数
②当n为何值时,|an|最小
[素养小结]
根据等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知数列{an}为等差数列 an=pn+q(p,q为常数).此结论可用来判断数列{an}是否为等差数列,也揭示了等差数列的函数本质.
◆ 探究点四　等差数列的实际应用
例4 假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数量的座位.若第3排有10个座位,第9排有28个座位,则第12排有多少个座位
变式 (1)某著作中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至当日起,其最短日影长依次成等差数列,已知立春当日的最短日影长为9.5尺,春分当日的最短日影长为6尺,则立夏当日的最短日影长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.16.5尺 B.13尺
C.3.5尺 D.2.5尺
(2)把100个面包依次分给按一定顺序排列的5个人,使每人所得面包的个数成等差数列,且较多的三份面包的个数之和的是较少的两份面包个数之和,则最少的一份面包的个数为　　　　.
[素养小结]
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题,挖掘出“等差”变化的含义,并进一步明确首项、公差、项数等基本量.第2课时　等差数列的性质及实际应用
一、选择题
1.在等差数列{an}中,若a3+a5=4,则a4= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.-2
C.4 D.-4
2.已知an=则通过数列{an}图象上所有点的直线的斜率为 (　 )
A.3 B.6
C.8 D.1
3.[2024·山西太原高二期中] 在-3与15之间插入5个数,使这7个数成等差数列,则插入的5个数之和为 (　 )
A.21 B.24
C.27 D.30
4.我国某著作中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织迄……”其大意为:有一女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织5尺,最后一天织一尺,三十天织完……则该女子第11天织布 (　 )
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
5.若一个等差数列的前三项之和为21,最后三项之和为93,公差为2,则该数列的项数为 (　 )
A.14 B.15
C.16 D.17
6.[2024·北京十一中高二期末] 已知无穷等差数列{an}的公差d≠0,则“d>0”是“存在无限项an满足an>2023”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(多选题)已知等差数列{an}满足a1>0,且a1+a2+a3+…+a101=0,则 (　 )
A.a1+a101>0
B.a1+a101<0
C.a3+a99=0
D.a518.(多选题)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有 (　 )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N*)
C.a2k-1=12-2k(k∈N*)
D.an+an+1=18-3n
二、填空题
9.[2024·内蒙古赤峰松山区高二期末] 在等差数列{an}中,已知a1=2,a3=8,则a4+a5+a6=　　　　.
10.已知等差数列{an}满足a5=2,a11=11,则-=　　　　.
11.在等差数列{an}中,a1+a7=14,则当++取得最小值时,a2024=　　　　.
12.[2024·北京顺义区高二期末] 某著作中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气,立竿测影,得其最短日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分最短日影长之和为31.5尺,春分最短日影长为7.5尺,则这十二个节气中后六个(春分至芒种)最短日影长之和为　　　　尺.
三、解答题
13.已知数列{an}是等差数列,且a6=4,a14=64.设a6与a14的等差中项为x,a6与x的等差中项为y,求x+y的值.
14.已知{an}为等差数列.
(1)若a2+a4+a6+a8+a10=90,求a9-a12;
(2)若a1+2a8+a15=64,求2a9-a10.
15.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何 ”根据这一数学思想,所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{an},所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{bn},把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{cn}.若cm<2024(m∈N*),则m的最大值为　　　　.
16.已知函数f(x)=x2+m,其中m∈R,数列{an}满足a1=0,an+1=f(an),n∈N*.
(1)当m=1时,求a2,a3,a4的值.
(2)是否存在实数m,使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列 若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.(共38张PPT)
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第2课时 等差数列的性质及实际应用
探究点一 等差中项
探究点二 等差数列的性质
探究点三 等差数列与一次函数的关系
探究点四 等差数列的实际应用
【学习目标】
体会等差数列与一元一次函数的关系.
知识点一 等差中项
如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与 的
___________,并且 .
等差中项
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则,, 三个数成等差数列.( )
√
（2）任意两个实数都存在等差中项.( )
√
知识点二 等差数列的性质
1.等差数列所有项的性质:
（1）若数列是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差为___
的等差数列;
（2）若数列是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差为____
的等差数列;
（3）若数列,数列分别是公差为, 的等差数列,且它们的项数相同,
则数列,为任意常数 是公差为__________的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
（1）若,则 ;
（2）在等差数列中，下标成等差数列的项仍是等差数列.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在等差数列中, .( )
×
（2）若等差数列的公差为,则数列的公差为 .( )
×
（3）若数列，，，， 是等差数列，则数列，，，
也是等差数列.( )
√
知识点三 从函数的角度研究等差数列
1.图象:等差数列的通项公式可写成.点 分布在一条
以 为斜率的直线上,是这条直线上一列__________.
2.等差数列单调性：在等差数列中，当______时，数列 是______数列；
当______时，数列是______数列；当______时，数列 是____数列.
孤立的点
递增
递减
常
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）等差数列的单调性是由公差 决定的.( )
√
（2）若函数 是一次函数，且该函数的图象过第二、四象限，数列
的通项公式为，则数列 是递减的等差数列.( )
√
探究点一 等差中项
例1（1） 在等差数列中，若是2和6的等差中项，则 ___.
4
[解析] 由等差中项的定义可得 .
（2）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为
( )
C
A.21 B.24 C.27 D.30
[解析] 设插入的3个数依次为，，，即3，，， ，15成等差数列，
因此，解得 ，
所以插入的3个数之和为 .
故选C.
变式 已知数列满足,且,,则
____.
[解析] 由知,数列 是等差数列.设该数列的公差为
,则解得所以 .
［素养小结］
实数,,成等差数列的条件是（或 ）,该条件可用来进行等差
数列的判定或求解有关等差中项的问题.如要证明数列 为等差数列,可通过证
明对任意的，都有 来实现.
探究点二 等差数列的性质
例2（1） 在等差数列中，已知,，则 ( )
B
A.4 B.8 C.3 D.6
[解析] 由等差数列的性质可知，则，得 .
故选B.
（2）在等差数列中，已知，则 ____.
20
[解析] 由题意知 .
变式（1） 已知等差数列中，,是函数 的两个零
点，则 ( )
D
A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] 由题意知，又 是等差数列，
所以 .故选D.
（2）在等差数列中，已知， ，则
____.
[解析] 方法一：由等差数列的性质可知，数列， ，
是等差数列，所以 ，
则 .
方法二：设等差数列的公差为 ，则
，
解得，所以 .
［素养小结］
解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列的性质；二是利用
等差数列的通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解.这些方法
都运用了整体代换与方程的思想.
拓展 [2024·贵州铜仁高二期末] 在等差数列中，，，， ，则
“”是“ ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 在等差数列中，若，则 成立，故必
要性满足；
取，若，则 不一定成立，故充分性不满足.
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
故选B.
探究点三 等差数列与一次函数的关系
例3（1） 已知数列中,,点是函数 图象上的点，
则 ( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为点是函数图象上的点，所以 ，
又,所以数列是以 为公差，1为首项的等差数列，
所以 ，故选D.
（2）[2024·江苏淮安高二期末] 已知等差数列中，， .
①求数列 的通项公式；
解:设的公差为，因为， ，所以 ，
即，所以 .
所以 .
②画出数列 的图象；
解:由①知，，故数列 的图象如图中各点所示.
③判断数列 的增减性.
解:由①可知，所以数列 是递减数列.
变式（1） 已知等差数列的各项均为正整数，且，则 的最
小值是___.
[解析] 等差数列的各项均为正整数，则数列为递增数列，公差 ，
因为为正整数，所以关于 递减，
又，所以当时， 取得最小值4.
（2）已知等差数列的首项，公差 ．
①等差数列 从第几项开始出现负数？
解:等差数列的首项，公差 ，
则 .
由，得，又，所以 ，即从第23项开始出现负数.
②当为何值时， 最小？
解:由等差数列的通项公式为 ，
可得
在时取得最小值 ，
在时取得最小值 ，
则当时，取得最小值 .
［素养小结］
根据等差数列的通项公式 ，可知数列
为等差数列,为常数.此结论可用来判断数列 是否为
等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.
探究点四 等差数列的实际应用
例4 假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数量的座
位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？
解:设体育场该角看台第排的座位个数为，则，， ， 成等差数列，
设公差为 ，由题意可得， ，
即解得 所以 .
故体育场该角看台的第12排有37个座位.
变式（1） 某著作中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至当日起，其最短
日影长依次成等差数列，已知立春当日的最短日影长为9.5尺，春分当日的最短
日影长为6尺，则立夏当日的最短日影长为( )
D
A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺
[解析] 设所给十二节气自冬至当日起的最短日影长构成的等差数列为数列 ，
则由题可知，，所以 ,即立夏当日的最短日
影长为2.5尺.故选D.
（2）把100个面包依次分给按一定顺序排列的5个人，使每人所得面包的个数
成等差数列，且较多的三份面包的个数之和的 是较少的两份面包个数之和，则
最少的一份面包的个数为____.
10
[解析] 设每人所得面包的个数从小到大依次为，，， ，
，则，所以 .
因为，所以 ，
所以，所以最少的一份面包的个数为 .
［素养小结］
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题,挖掘出“等差”变化的含义,并进一
步明确首项、公差、项数等基本量.
1.等差数列的函数性质
（1）若,则等差数列 是常数列,是离散型常数函数;
（2）若,则是关于的一次函数.从图象上看,表示数列的各点
均在一次函数的图象上,其中一次项的系数等于公差,直线在 轴上
的截距等于 .
2.等差数列的等距离性质
（1）若数列 是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且都
等于首末两项之和,即 ;
（2）等差数列的等间隔项仍然组成等差数列,仍然具有（1）的性质;
（3）等差数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等差数列.
例1 已知等差数列为递增数列，若， ，则数
列的公差 等于( )
A
A.1 B.2 C.9 D.10
[解析] 在等差数列 中，依题意得
，
解得，又，且为递增数列，即 ,
所以,,所以数列的公差 .故选A.
例2（1） 已知等差数列 是递减数列，且其前三项的和为18,前三项的乘积
为66,求 的值.
解：设等差数列的前三项依次为,, ,
则解得
因为等差数列 是递减数列,所以,所以, ,
则等差数列的首项为11,公差为 .
所以数列的通项公式为,所以 .
（2）已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数的积为40,求这四个数.
解：设这四个数依次为,,, .
由题设知
解得或
这四个数依次为2,5,8,11或11,8,5,2.
例3 （多选题）已知方程 的四个根组成一个首
项为的等差数列，则 的值可能为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 设方程的四个根分别为，，， ，
且数列，，，是首项为的等差数列，设该等差数列的公差为 ，
由等差数列的性质可得 .
①若，为方程的两根，则，为方程 的
两根，
由根与系数的关系可得，则，所以 ，则
， ，此时，，则 .
②若，为方程的两根，则，为方程 的
两根，
同理可得，，则 .
综上所述，.故选 .

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