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广东省惠州市惠阳区第五中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，，，，的中位数为( )
A. B. C. D.
3.设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A. B. C. D.
4.已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设函数若无最大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数( )
A. B. C. D.
7.记函数的最小正周期为若，且的图象关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，四点均在半径为为常数的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等比数列的前项和，为的公比，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的斜率为
B.
C. 为坐标原点
D. 当取最小值时，
11.定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 函数是周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
13.已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
14.设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，为的中点，且．
求；
若，求．
16.本小题分
小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是的倍数，则由对方接着投掷．
若第次从小明开始，设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与数学期望．
若第次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．是棱上的点，且四面体的体积为
证明：；
若过点，的平面与平行，且交于点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为．
求的方程．
设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于，两点．
证明：直线和直线的斜率乘积为定值．
若直线，与圆：分别交于，两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调区间；
当时，证明：；
函数有两个零点、，求证：．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，可得，如图所示：

在中，由正弦定理得，
所以
在中，由正弦定理得，
所以
故
因为为的中点，
所以，即，
由不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得．
所以．
解得．
故

16.解：投掷两颗骰子共有个样本点，和为的倍数的样本点有：
，共个样本点．
所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为的倍数的概率为．
设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取，，，，
，
，
，
．
．
若第次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；
第次由小明投掷，第次由小芳投掷，
其概率为．
因为两种情形是互斥的，
，
．
因为，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
，
．

17.解：解法一：
如图，取中点，连接，．
因为，，所以，，．
又因为是菱形，，所以，．
因为，所以，所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面，
所以．
因为，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的，
所以．
解法二：
如图，取中点，连接，，
因为，，
所以，，，
又因为是菱形，，
所以，．
因为，所以，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
所以，．
过作交于点，，所以．
又平面，平面，
所以平面，所以．
因为，，
所以，
所以是的中点，所以是的中点，所以．
解法一：
由知，，，．
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，．
因为，设，则，
因为，，，，故存在实数，，使得，
所以，解得
所以．
设平面的法向量为，则，即
取，得到平面的一个法向量．
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值是．
解法二：
由知，，，，
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，．
设平面的法向量为，则，即．
取，得到平面的一个法向量．
因为，设，则，
因为，所以，所以
设平面的法向量为，则，即．
取，得到平面的一个法向量．
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值是．
解法三：
在平面内，过作交延长线于点，交延长线于点，
因为是菱形，所以．
如图，在平面内，作交的延长线于点，设交于点．
所以，四边形是平行四边形，，．
所以，所以，
所以点是线段上靠近的三等分点．
如图，在平面内，作，交于，
因为平面，所以平面，所以，
因为，，
在平面内，作，交于点，连接，过作交于，
在中，，，所以，
所以，
因为，，，且两直线在平面内，所以平面，
因为平面，所以．
所以是二面角的平面角．
在中，，所以．
所以平面与平面夹角的余弦值是．

18.解：由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，
又，，可得．
由离心率，解得，
双曲线的方程为．
如图所示，由知，，
设直线的方程：，，，
由，得，
直线与双曲线的右支交于两点，
，解得，
，，
设：，：，且，，
由，得，，同理可得，
由得，，同理可得，
，即，．
，
又，．
令，由，，得
，
令，
在区间上为增函数，的取值范围为
又，
的取值范围为．

19.解：函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、．
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、．
当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证．
，
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．

第1页，共1页

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