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广东省河源市龙川县第一中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.研究函数图象的特征，函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.“”是“在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数在区间单调，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的是( )
A. 函数是指数函数
B. 函数的值域是
C. 若，则
D. 函数的图像必过定点
10.函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 是周期函数 D.
11.已知三次函数，若函数的图象关于点对称，且，则( )
A. B. 有个零点
C. 的对称中心是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
13.函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
14.已知数列的前项和为，且若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，且的面积为，求角的角平分线的长．
16.本小题分
袋中有个除颜色外完全相同的小球，其中个黑球，个白球，个红球．
若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望；
若从袋中不放回的取次，每次取一个小球，取到黑球记分，取到白球记分，取到红球记分，在最终得分为分的条件下，恰取到一个红球的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面平面．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
设函数．
当时．求曲线在处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即；
因为，，所以，
即，
设的角平分线交于，因为，
所以，所以．

16. 【详解】 由题意得的可能取值为：，
，，，
所以的分布列为：
数学期望；
设事件“最后得分为分”；事件“恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为分有两种情况：摸出个白球个红球或个黑球个红球，
所以，，
所以．

17.解：取的中点，连接，
，
，
，
，
的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
平面平面，
平面平面，
平面，
平面，
平面，
，
平面，
平面．
由可知两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系
则，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
，
平面，
所以平面，
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以设平面与平面的夹角的余弦值为．

18.解：当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即．
函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，且当时取等号，函数在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，要函数有两个零点，则必有，
解得，此时，当从大于的方向趋近于时，趋近于正无穷大，，
因此当且仅当时，函数恰有两个零点，
所以实数的取值范围是．

19.解：，
设椭圆的标准方程为，即，
过点，
椭圆的标准方程为；
由题意可知直线的斜率存在，且不过点，
设直线的方程为，，
由消去整理得，
，，
，
，
，
，
将，代入整理得，
，
又因为，
解得：，
三角形的面积，
令，
导函数，
当，，
当，，
增区间为，减区间为，
当时，三角形的面积取得最大值，最大值为．

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