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广西南宁市第八中学2026届高三上学期9月统测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.为落实“双碳”目标，某环保组织调研个国家年度的人均碳排放强度单位：吨人年，得到数据如下：，，，，，，，，，则该组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，则的公差为( )
A. B. C. D.
5.若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为( )
A. B. C. D.
7.设是定义在上的奇函数，且若在上单调递减，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，的零点依次为，，，则以下大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，圆锥的底面半径为，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥母线与底面所成的角为 B. 圆锥的侧面积为
C. 挖去圆柱的体积为 D. 剩下几何体的表面积为
10.若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 是等比数列 D. 是等比数列
11.已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 直线和直线的斜率的乘积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知向量，满足，，且，则 ．
14.某盒子中有黑、白球各个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来年的增长数据万吨，如下表所示：
经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用设备 用设备
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关
参考公式：，；
其中为样本容量．
参考数据：
16.本小题分
已知向量，，设函数．
化简并写出的最小正周期；
在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．
求证：平面平面；
当取得最小值时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知曲线上任一点到两个定点和的距离和为定值．
求的方程；
过点的直线斜率存在且不为与交于，两点，关于轴的对称点为．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)对于(ⅰ)中的点，求的取值范围．
19.本小题分
已知是曲线上不同的三点．若点的横坐标成等比数列，且曲线在点处的切线的斜率小于直线的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”已知．
讨论的极值点个数；
若，证明：是上的“等比左偏函数”；
当时，数列满足，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，，，
，，
．
，
故经验回归方程为．
零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联．
则．
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关．

16.解：由题意可得
，
故最小正周期为．
因为，且，
所以，解得，
由，得，
由余弦定理即，解得，
又因为是线段的中点，所以，
得，
故．

17.解：因为平面，平面，所以，
因为四边形为菱形，所以
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由知平面，
因为平面，所以，，
又，平面平面，所以即为二面角的平面角，
当取得最小值时，有，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为在菱形中，，，
所以，，
又因为，所以，
又因为在中，，解得，
则在中，，
所以二面角的余弦值为．
解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直，
又当取得最小值时，有，
以为原点，分别为轴建空间直角坐标系，
因为在菱形中，，，
所以，为等边三角形，易得，，
则，，，，，
易知为平面的法向量，
又由得平面，平面，
所以，又因为，，平面，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
又，
所以二面角的余弦值为．

18.解：因为，由椭圆定义可知，曲线为以和为两焦点的椭圆，
其中，，解得，，
故的方程为；
依题意可设直线的方程为，
设，，．
联立得得，
由韦达定理得，，
则直线的方程为，
即，
其中
，
则直线的方程为，
故直线过定点；
，，
，
因为，所以，，
所以的取值范围为．

19.解：由，，，
当时，，在上单调递减，
函数没有极小值点，也没有极大值点，函数的极值点个数为；
当时，令，可得，令，可得，
故在上单调递增，上单调递减．
在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为．
综上，当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为．
时，，设，，不妨设，令
，曲线在点处切线的斜率，
又，
要证是上的“等比左偏函数”，
只需证，
令，则，即证，
即证，令，即证．
令，则，
在上单调递减，，所以是上的“等比左偏函数”．
当时，，，
令，，则，
仅当时，，在上单调递增，
，，，
从而，，，故．
由知时，，故，
又因为，所以，
，
即，从而，，．
即，．
当时，
，
又当时，，符合上式，
．

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