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广西来宾市金秋实验学校2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.记为等差数列的前项和若则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等比数列的前项和，为的公比，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知的面积为，若，则( )
A. B.
C. D.
11.对于函数和，下列说法中正确的有( )
A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个等比数列的各项均为正数，且前项的和等于，前项的和等于，则这个数列的公比等于 ．
13.若直线是曲线的一条切线，则 ．
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求．
若，，求的周长．
16.本小题分
设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．
求的公比；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得．
证明：；
求平面与平面所成的二面角的正弦值．
19.本小题分
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间
乙车间
总计
填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
附：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：方法一：常规方法辅助角公式
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法同角三角函数的基本关系
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式柯西不等式
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为

16.解：设的公比为，为的等差中项，
，
；
设的前项和为，，
，
，
得，
，
．

17.解：当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即．
解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为．

18.解：由，
得，又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
连接，由，则，
在中，，得，
所以，由知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则
令，得，
所以，
所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为．

19.解：根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异．
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．

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