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福建省恒一教育集团2026届高三上学期联考数学试题（A1）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知是公差为的等差数列，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 数据，，，，，的上四分位数为
B. 若随机变量，则
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 已知，之间存在关系式，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则
10.已知函数的部分图象如图所示，且的面积为，则( )
A. B. 函数为奇函数
C. 在上单调递增 D. 直线为图象的一条对称轴
11.数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则( )
A. 点在上
B. 面积的最大值为
C. 曲线恰好经过个整点即横，纵坐标均为整数的点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值是 ．
13.写出与圆和圆都相切的一条直线方程 ．
14.设函数，设的最小值为，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，且的周长为，求的面积．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为短轴长为．
求椭圆的标准方程；
若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
18.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为为自然对数的底数．
求实数的值；
求证：．
19.本小题分
在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．
若为阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；
若既是阶等比数列，又是阶等比数列，证明：是等比数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或或，任写一条即可，答案不唯一
14.
15.【详解】因为平面平面，平面平面，
又，平面，
所以平面．
因为底面为正方形，由知平面，

所以，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，
因为，为棱的中点，
所以，
可得，．
因为平面，
所以为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则
令，则，则，
设平面与平面的夹角为，
所以．
即平面与平面夹角的余弦值为．

16.【详解】由题设，由正弦定理有，
所以，而，故，又，
所以．
由及已知，有，可得，
又，即，
所以，故．

17.【详解】根据题意得
又，解得，，
所以椭圆：．
设点，由知椭圆：，
所以，，
由题意，设直线的斜率为存在且，
方程为：，则，
由，消去，得，
因为直线与椭圆相切，所以方程，
得，
所以，
其中．
所以关于的方程有两相等实根，所以，
所以为定值．

18.【详解】函数的定义域为，
因为，令，得：，令，得：，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由知：由，
又，所以切点，
由可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，则，
也可构造
设，则在上恒成立．
所以在单调递增．
又，又，方程只有解：．
依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，所以不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设则．
当时，，所以．
所以在上单调递减．
所以，即．
所以在上单调递减，，
即当时，成立．
综上：当时，在上恒成立．

19.【详解】因为为阶等比数列，所以为正项等比数列，
设公比为，则为正数，
由已知得
两式相除得，所以舍去，所以，
所以的通项公式为，
前项和为；
因为为阶等比数列，
所以，使得成立，
所以，
又，
所以，
即成立，
所以为阶等差数列；
因为既是阶等比数列，又是阶等比数列，
所以与同时成立，
所以与同时成立，
又的各项均为正数，所以对任意的，
数列和数列都是等比数列，
由数列是等比数列，
得也成等比数列，
设，
所以，所以是等比数列．

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