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福建省恒一教育集团2026届高三上学期联合检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.设复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数的解析式其中为自然对数的底数与所给图像最契合的是( )
A. B. C. D.
5.扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为，内环的弧长为，油布径长外环半径与内环半径之差为，则该扇子的油布面积大约为油布与扇子骨架皱折部分忽略不计
A. B. C. D.
6.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，为奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
7.若，为锐角，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
11.已知椭圆的离心率为，将绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转，得到椭圆，设围成的公共区域的边界为曲线，则( )
A. 有四条对称轴 B. 上任意两点间距离的最大值为
C. 的周长 D. 围成图形的面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 ．
14.已知函数有两个极值点，若，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角的对边分别是，且，，．
求的值；
求的面积．
16.本小题分
在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面．
证明：平面；
已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若在处取得极大值，求的取值范围；
求证：当时，．
18.本小题分
已知抛物线，过点作斜率为的直线交于，两点．
当时，
若点在的准线上，且满足，求的值；
若点，在轴上，且满足，求取得最小值时的值．
若存在，使得对任意实数成立，求的值．
19.本小题分
若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，．
若正实数，满足，且，求的最大值；
若代数式为二元轮换式，比较与的大小；
若对任意的正实数，，均有，求整数的最大值．
参考答案
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14.
15.【详解】因为，则，
由正弦定理可得，又，
故可得；
又因为，
代值可得，解得．
又，由内角和定理可知，
故．
因为，故可得；
，故可得．
由正弦定理可得，
故可得三角形面积．
16.【详解】因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
又 平面 ，
所以 平面 ．
记 的中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ．
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设 ，则 ，
所以 ．
由题知 ，设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，则 ．
则 ．
化简可得 ，解得 或 ，
三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 ．

17.【详解】解：因为，
则，
所以，，
又因为，所以，曲线在点处的切线方程为，即．
解：因为，
因为在处取得极大值，
当时，，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则函数在处取得极大值，合乎题意；
当时，，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
则函数在处取得极大值，合乎题意；
当时，即当时，且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，即函数无极值点，不合乎题意；
当时，，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数在处取得极大值，合乎题意；
当时，，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在处取得极小值，不合乎题意．
综上所述，．
证明：当时，由，可得，
因为，则，
所以，，
所以，只需证当时，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，，
因此，当时，对任意的，．

18.【详解】由题意知直线的方程为，设，
联立得，消去得，
所以．
当时，，
，
易得的准线方程为，直线的方程为，
所以．
因为，所以，
所以
所以，
所以．
在中，易得，
所以，所以．
法二、当时，点为的焦点，
过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，则，抛物线的定义
易得，
易得，即，
在中，易得，
所以，所以．
由(ⅰ)解法一可得，
设直线的倾斜角为，
则．
令，则，且，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取得最小值，即取得最小值，
此时，得．
由解法一可知，
由题可得，同理，
所以，
所以，
由题意可得对任意的实数恒成立，
所以，故的值为．

19.【详解】正实数满足，可得，即，
所以，
又，所以，所以当即时，取得最大值为．
依题意可得，即，
由对称性不妨假设，令，则有，
则有，
设
所以在单调递增，则有，
所以，即，即，即，
综上，．
已知对任意的正实数，均有，
不妨设是中的最小值，则令，其中．
将代入不等式并化简可得．
若或，则不等式对任意实数均成立．
因为，所以要使不等式成立，即．
若，则不等式对任意实数均成立．
若，设．
当时，不等式可整理为．
设，对其进行变形可得．
对求导，，令，，
因为，所，即在上单调递增．
令，即，化简可得，
令，则，解得舍去，即．
则存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，因为，所以，则，所以．
又因为，所以，则，
因为，所以，所以，所以，所以．
当时，不等式可整理为，
此时，所以时，不等式恒成立．

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