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福建省莆田市莆田第一中学2026届高三上学期月考(二)
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是( )
A. 海里时 B. 海里时 C. 海里时 D. 海里时
5.若函数在上存在最值，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
8.定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.设为复数，则下列说法一定正确的是( )
A. B.
C. D. 若均为纯虚数，则为实数
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
11.在中，已知，则( )
A. B.
C. D. 的面积为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.若，且，则的最小值为 ．
13.写出与曲线和都相切直线的方程： ， 写出两条直线的方程
14.关于的方程且有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.江苏城市足球联赛俗称“苏超”火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖次，每次抽中纪念品的概率均为若前次未抽中纪念品，则第次无论抽中与否均获得纪念品．
求某球迷恰好获得个纪念品的概率；
记为某球迷获得第个纪念品时的抽奖次数，求的数学期望．
16.在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若点在边上，，，，求的面积．
17.已知函数．
讨论在区间内极值点的个数；
若在区间内有零点，求证：．
18.在平面四边形中，，，，的面积为，将沿翻折至，其中为动点．
证明：三棱锥外接球的体积为定值；
当点到平面的距离为，求直线与直线所成角的余弦值．
19.已知函数，满足且在区间上无极值点．
求的单调递减区间；
当时，设的最大值为，求的值域；
把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线设函数，将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列若，求实数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件，且，．
记为“恰好获得个纪念品”，则有以下可能情况：
第次中，第次未中，第次未中：；
第次未中，第次中，第次未中：；
第、两次均未中，则第次必得：；
所以．
记为某球迷获得第个纪念品时的抽奖次数，则的可能取值为，，．
；
；
．
分布列
．

16.解：由正弦定理边化角可得，，
整理可得，．
因为，，
所以有，
所以．
因为，所以．
设，则，
在中，有．
在中，有．
又，所以，
所以有．
又，所以．
在中，由余弦定理可得．
又，，，
所以有．
联立，解得，所以，
所以，．

17.解：由，，
则，
若，当时，恒成立，
则函数在上单调递增，无极值点；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因此为的极小值点，且无极大值点．
综上所述，当时，在内的极值点个数为；
当时，在内的极值点个数为．
由知当时，函数在上单调递增，
因此，函数在内无零点；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
则，
若在区间内有零点，则，
而，设，
则，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
于是，即，
则函数在上单调递增，
所以，即，又，所以．

18.解：由题，，则，
在内，由正弦定理得，解得，
又，解得，
故为正三角形，，，
解三角形知，，，
取中点，由于和是以为斜边的直角三角形，
故，即翻折后在三棱锥中，，
根据外接球定义：外接球的球心到多面体各个顶点的距离相等，
所以点即为三棱锥外接球球心，
所以外接球半径，体积为定值．
显然点在面上的投影不在直线上，
当向上翻折
设点在面上的投影为点，则，
且面，又，，面，则，，，
所以，，
则，
又，所以，
则，所以，
同理可知，
所以，解得，
因为，，，
所以，故．
所以四面体为正四面体，点在平面的投影位于正的中心．
以为原点，为轴，为轴，轴平行于直线建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，
故；
当向下翻折，设此时点翻折至，
则平面所在平面与中平面所在平面相同，
且点与点关于直线对称，
连接，与的交点为线段中点，
所以，
故，
综上所述，直线与直线所成角的余弦值为或．

19.解：依题设，直线是函数图象的一条对称轴，点是函数图象的一个对称中心，
则函数的最小正周期满足，解得，
由函数在上无极值点，得函数在上单调，则，即，
于是，解得，，从而，
由，得，又，，
函数，由，得，
所以函数的单调递减区间为．
依题意，函数的值域是函数在上最大值与最小值之差的取值范围，
若函数图象的对称轴在内，不妨设对称轴在内，
则，当，即时，；
若函数图象的对称轴不在内，则函数在上单调，
则
，
因此函数在上最大值与最小值之差的取值范围为，
所以函数的值域为．
由得，则，
当时，，
由函数在上递增，且值域为，得存在唯一，使得，
又，则当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则；
由函数在上递增，且值域为，得存在唯一，使得，
又，则当时，；当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
由，得，则，
同理，由，得，
而，因此，
由，得，则或，
当时，，不符合题意，
当时，，解得，
所以．

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