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广西南宁市第二中学2026届高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是( )
A. B. C. D.
3.一物体在力的作用下，由点移动到点若，则对该物体所做的功为( )
A. B. C. D.
4.将个不同的小球放入个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则在区间 上一定存在极值点．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的异面直线、，以下判断正确的是( )
A. 存在平面，使得，
B. 存在直线，使得同时与、垂直且相交
C. 存在平面、，使得，，且
D. 对于任意点，总存在过且与、都相交的直线
10.已知，，，四点均在双曲线上，则四边形可能为( )
A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
11.已知函数的最大值为，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过三点的圆的方程为 ．
13.已知非零向量，满足，则 ．
14.已知数列满足：，，，，，且当时，，若数列满足对任意，有，则 ；当时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，．
求；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件：；
条件：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
如图所示，已知四棱锥中，是直角梯形，，平面，．
求点到平面的距离；
求二面角的正切值．
17.本小题分
已知抛物线仅经过中的一点．
求的方程；
过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点．
18.本小题分
在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在流数法与无穷级数一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一直继续下去，得到，，，，一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
已知函数的零点为，，求的次近似值．
函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，，其中成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．
，若两人共进行局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；
时，若两人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”事件表示“甲最终获胜”请写出，，，的值直接写出结果即可；
若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：因为在中，，
由正弦定理，
，
因为，所以；
若选择条件：，
因为在中，，所以，
所以由正弦定理得，
所以，
故，
又由正弦定理得，
所以三角形的面积为：
；
若选择条件：，
将，代入余弦定理，
，
解得：，
进而得，
所以三角形的面积为：
．

16.解：平面平面
，
又 两两互相垂直，
则以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，

设平面的一个法向量
即
令，可得，
，
记点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为．
由可知平面的一个法向量为
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
由图可知，
，
由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为，正弦值为，
二面角的正切值为．

17.解：抛物线关于轴对称，而点关于轴对称，
若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，
因此点必在抛物线上，，解得，
所以抛物线的方程为．
由知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由消去得，设，
则，线段的中点，
同理得线段的中点，当时，直线斜率，
直线方程为，整理得，直线过定点，
当时，或，直线过定点，
所以直线过定点．


18.解：函数，求导得，
则，而，
在处的切线方程为，即．
令，得，则，
在处的切线为，令，得，
所以的次近似值为．
因为，则，
可得，
过点作曲线的切线，
令，得，
则，
又因为是函数的两个零点，则
且，则，
可得，
故数列为等比数列；则，
所以；
由知，所以，
所以．
假设数列中存在项其中成等差数列成等比数列，
则，所以，即，
即，
又因为成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以，
又，即
所以，
可得：与已知矛盾．
所以在数列中不存在项成等比数列．

19.解：的可能取值为，，，，，，
的分布列为：
；
当时，，
故乙最终获胜，则，
当时，，，
故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故，
当时，，，
最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故，
当时，，
故甲最终获胜，故；
证明：结合，由全概率公式得：
，
所以，
当时，，
又
，
因为，所以，即．

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