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海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则“”是“为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数满足，则下列不等式一定成立的有( )
A. B. C. D.
10.已知，函数，则下列结论中正确的是( )
A. 存在，使得无零点
B. 对任意至少有一个零点
C. 存在，使得有两个零点
D. 存在，使得的图象关于对称
11.已知函数存在极大值点和极小值点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，且其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知定义在上的函数满足，且，则 ．
13.随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用百元与进货量单位：百斤之间的关系为为常数，若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 ．
14.已知不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的值．
17.本小题分
已知函数．
若函数单调递增，求实数的取值范围；
当时，利用题干信息证明：，．
18.本小题分
已知函数，且的图象关于直线对称．
求实数的值；
求函数在上的值域；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：若存在使得成立，则称为函数和的平衡点，其中分别为的导函数．已知函数．
若函数和存在平衡点，求实数的最大值；
若函数和存在个不同的平衡点，且．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：对函数求导得．
因为．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为，
当时，或；当时，．
所以在区间上，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．

16.解：
当时，，则，
记，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值．
当时，，
记函数，
依题意，，恒成立，而，因此函数最小值为，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，则，
又是函数的唯一最小值点，且函数在处取得最小值，
于是，，满足，
所以实数的值为．

17.解：由题意可知：函数的定义域为，且，
若函数单调递增，则在内恒成立，
可得在内恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，且，
所以实数的取值范围为．
若，则，
由可知函数在内单调递增，
当时，，则，
令，则，
整理可得，
即，，，，
相加可得，
整理可得，，证毕．

18.解：由题意知的图象关于直线对称，
则的图象关于轴对称，即为偶函数，
故，即，
设，则，
即为奇函数，而，即在上单调递增，
则由，可得，则，
则，由于，故；
由可知，则，
当时，，则，则在上单调递减，
当时，，则，则在上单调递增，
而，
故在上的值域为；
，不等式恒成立，即恒成立，
即，恒成立，
令，由于，结合可知，
则即为，
即得对于恒成立，
而函数在上单调递减，故，
故．

19.解：函数的定义域为，．
函数的定义域为，
令，则；所以．
由函数和存在平衡点，知和存在平衡点，所以存在实数使得成立，即存在实数使得成立．
令，当且仅当，即时，等号成立．
所以当时，取得最大值，最大值为．
实数的最大值为．
若函数和存在个不同的平衡点，且，则有个不同的解．
当即时，，所以是的一个解，此时．
所以当时，，即有个不同的解．
令，则由得：且．
，且．
令，则，所以单调递减．
因为，所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
当时，；当且时，，，所以；
当且时，，所以；
当时，，所以；
因此，的简图如下：
所以当时，有两个不同的解．
所以实数的取值范围是．
若且，则
如图可知：，且，所以．
要证，只需证，
即证，即证，
即证，
即证．
令，则，
令，则
令，则．
所以当时，，单调递减，所以，即．
所以单调递减，且，即所以单调递减，所以．
即当时，．
因此，．
故得证．

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