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湖南省岳阳市汨罗市第一中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若命题“时，”是假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知角的终边经过点，则 ．
A. B. C. D.
5.已知函数且是奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.在中，是边上一点，且是的中点，记，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在上的最大值为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 为函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的值域为 D. 在区间上有个零点
11.已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有( )
A. 函数关于直线对称 B. 是函数的周期
C. D. 方程恰有不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正实数满足，则的最小值为 ．
13.已知，则 ．
14.已知直线是曲线与的公切线，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的周长为，面积为，求．
16.本小题分
已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点．
求抛物线的标准方程；
若直线的倾斜角为，求．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．

求证：平面平面；
若为的中点，求平面与平面的夹角．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点．
求椭圆的方程；
若，试求直线的方程．
19.本小题分
已知等差数列满足，．
求；
求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.在中，由及正弦定理得，
则，
因此，而，则，又，
所以．
由及已知得，解得，
由，得，
由余弦定理得，则，
所以．

16.由抛物线的性质，，故抛物线．
由直线的倾斜角为，则斜率为，直线方程为，
设，
联立
，
故．

17.因为，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
连接，，因为为正三角形，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又为的中点，所以，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又平面的一个法向量可取，
设平面与平面夹角为，
则，
又，所以，即平面与平面夹角为．

18.根据题意作图如下：

设，椭圆过点，
所以有，，
又，则，
所以，则，所以，
整理得，因为，
所以解得，
故椭圆的方程为．
根据题意作图如下：

若，则．
当直线与轴垂直时，其方程为，
则，，不满足题意．
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
整理得，即．
设，则，
因为，在直线上，且在的两侧，
所以，则，所以
由解得，代入，
得解得，
所以直线的方程为，即或，
综上，直线的方程是或．

19.设等差数列的公差为，则，
因为，，
所以，，
所以，，
所以，，
所以，
由，
所以数列的前项和，
所以，
所以数列的前项和．

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