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吉林省吉林市第一中学2026届高三上学期第一次质量检测
数学试卷（创新班）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.南京照相馆、浪浪山小妖怪、长安的荔枝位列年我国暑期档票房前三名．高一班共有名同学，有人观看了南京照相馆，有人观看了浪浪山小妖怪，有人观看了长安的荔枝，有人同时观看了南京照相馆和浪浪山小妖怪，有人同时观看了南京照相馆和长安的荔枝，没有人同时观看三部电影．只观看了长安的荔枝的人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图，下列函数的图象和下图最接近的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，为的外心，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知为正数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列论述正确的是( )
A. 若事件，则
B. 必然事件与任意事件相互独立
C. 若事件，互斥，且，，则
D. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥
10.多选已知函数，其部分图象如图所示，，分别为最高点、最低点，则下列结论正确的是( )
A. 函数图象的对称中心为点，
B. 函数的单调递减区间为，
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数
D. 不等式的解集为，
11.已知定义域为的函数的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前项和为，则( )
A. B. 是递增数列 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在函数的图象上，则点到直线的距离的最小值为 ．
13.在中，若，则的取值范围为 ．
14.在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩单位：分，得分取正整数，作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组如图：
求的值并估计进入决赛的最低分数：
如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人中有来自组的学生的概率；
学校在此次竞赛成绩中抽取了名学生的成绩：，已知这个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的和两个成绩，求剩余个成绩的平均数与方差．
16.本小题分
在中，角所对的边分别是已知，的面积为．
求；
为边上一点，
若是的平分线，求线段的长；
若，求．
17.本小题分
将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
求；
求数列的前项和．
18.本小题分
设，函数．
若曲线在处的切线恒过原点，求的值；
若存在一组，使得的定义域和值域均为
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)若，求实数的取值范围．
19.本小题分
，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”已知．
证明：存在源数列；
若恒成立，求的取值范围；
记的源数列为，前项和为证明：．
参考答案
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14.
15.【详解】由图可知：，解得，
因，，
则成绩由高到低的前分数线必在之间，
设分数线为，则，得，
则进入决赛的最低分数为分
样本成绩位于和的比例为，
故所抽取的个人中，来自的人数为，设这两个人为
来自的人数为，设这个人为，
则从个人中随机抽取个人的所有情况有：，
人中有来自组情况有，
故人中有来自组的学生的概率为；
由，可得，
则剔除其中的和两个分数，剩余个数平均数为，
又标准差，则
，
故，
则，
则剩余的个数的方差为．

16.【详解】因为，所以，
因为，则，故由，可得．
因为，，解得，
由余弦定理得，解得．

因，
依题意有，解得．
设，所以．
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由正弦定理得，，即，
因，代入化简得，
即，解得，即．

17.【详解】，，
即
，，
因为是最小的正零点，所以应该取大于的最小值，
，
解得；
由知，，
令，
则，
或，
解得或，
数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，
数列的偶数项是首项为，公差为的等差数列，
所以当为偶数时，；
所以当为奇数时，；
所以．

18.【详解】因为，所以，
故在处的切线方程为
因为其过原点，所以
解得：．
由知在上单调递减，在上单调递增．
当时，函数在上单调递减，有
即，，所以，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，有
即在上有两个根．
设，，由知在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
所以．
又因为，
所以只需证时，有大于的根即可．
由的单调性知其成立．
综上：．
(ⅱ)由(ⅰ)知当，即时，时，此时不合题意；
当时，有、满足，
设，所以，则．
令，则，
设，由知在单调递减，
于是，
所以，在单调递减，
因为，所以的取值范围为．

19.【详解】由，得，即在上单调递减，
又，当且无限趋近于时，趋向于正无穷大，即的值域为
对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于，令，其在上的解必存在且唯一，
不妨设解为，即，则都存在唯一的实数，使得，
即存在源数列．
恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，则，
令，则，仅在时取等号，
即在上单调递减，故，即在上单调递增，
故，故；
由得，故，即，则，
当时，．
当时，；
当时，
当时，
，
综上：．

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