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青海省大通回族土族自治县朔山中学2026届高三上学期9月起点考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的倍，得到函数，则函数的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和满足：，且，那么( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则( )
A. 的坐标为 B.
C. 若，则 D. 为钝角
10.九章算术中将正四棱台上下底面均为正方形称为“方亭”现有一方亭，侧棱与平面所成的角为，记该方亭的表面积为，体积为，则( )
A. 平面
B.
C.
D. 正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为
11.若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”记的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则不是受限数列
B. 若等差数列满足，则是受限数列
C. 若，则是受限数列，其受限上界为
D. 若都是受限数列，则也是受限数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ．
13.如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的个座位座位序号为上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面例如：一个人坐号座位，则同班级的另一个人不能坐号座位也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种
14.已知函数，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知恰好满足下面四个条件中的三个：，，，．
问满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由；
求的周长．
16.本小题分
如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面．

在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
证明：；
若，求的取值范围．
18.本小题分
城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
若有位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为．
请写出与的递推关系，并求出；
设，记数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为点在线段上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程及离心率．
点是直线上一动点．
若点在轴上，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，为线段的中点，且，求的方程；
过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】满足的条件是；
若，则，
若，则，
由，则条件和不可能同时满足，
故和都满足，由，
为锐角，应有，从而条件不能满足，
故满足的条件是．
法一：由可得，
由余弦定理，
，化简得，
解得：或舍去，
的周长为．
法二：，又，
故．
由正弦定理，得，
为锐角，得：，故．
由勾股定理，得，
，故，
的周长为．

16.【详解】线段上存在点，且为的中点，使得四点共面证明如下：
连接四边形是菱形，．
又平面，平面，．
又，平面，平面．
连接为的中点，，．
又平面平面，平面平面，平面，平面．
，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，
在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面．
取的中点，连接，设交于点，连接，，
则，且．
平面，平面．
又，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

底面是菱形，，，．
，．
由知，四边形是矩形，，
，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，即
取，则．
设平面的法向量为，
所以，即
取，则．
，
由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则．
连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由知平面，则，又，所以平面，所以，
则为二面角的平面角．
易知，，，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．

17.【详解】由，可得，
由，解得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
故的极大值为，无极小值．
函数的定义域为，
要证，即要证，
设，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故；
由可得，
即，
设，则，
故函数在上单调递增，
则．
由可得，故，
故得，即的取值范围是．

18.【详解】记附近居民第天选择路线分别为事件．
根据题意，，，
则，，，
所以由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率
．
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
故的数学期望．
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以．
由此可得，又，
于是数列是首项为，公比为的等比数列．
因此，所以．
证明：由已知得，
所以，则，
两式相减，得，
所以，又，
所以．

19.【详解】设点是所求曲线上的一点，且，
由轴于，则，
，可得
点是圆上任意一点，
则，
即，
即曲线的标准方程为．
离心率．
易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，
由得，
由，得，
则．
为直角，
故，
即，
，
．
解得，即．
故的方程为．
如图，
设点，
注意到斜率不为，
设，
联立，得
与相切，，
于是，
化简得，
又与相切，同理有，
故是一元二次方程的两根，
则，
，
又，
，
面积的取值范围为．

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