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山东省泰山外国语学校复读部2026届高三10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线上一点，记为函数的导数，则( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，当时，，则的极大值点为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. 或或
B. 或或
C. 或或
D. 或或
8.已知菱形的边长为，为的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是
10.已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为当时，，其中为自然对数的底数，则( )
A. 当时， B. 在上有且只有个零点
C. D. 在上为增函数
11.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是( )
A. 关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 ．
13.幂函数在上单调递增，则的图像过定点 ．
14.设函数在处的导数存在，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根．
若是真命题，求实数的取值集合；
在的条件下，集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
定义域在的单调函数满足恒等式，且．
求，；
判断函数的奇偶性，并证明；
若对于任意都有成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，且．
证明：在区间上单调递减；
若对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
19.本小题分
已知函数，．
若过点，求解析式；
若．
(ⅰ)当函数不单调，求的取值范围；
(ⅱ)当函数的最小值是关于的函数，求表达式
参考答案
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15.【详解】解：若是真命题，则，解得，
则；
解：因为，所以，
当时，由，解得，此时，符合题意；
当时，则有，解得，
综上所述，的取值范围为．

16.【详解】令可得，令；
令，即
函数是奇函数．
是奇函数，且在时恒成立，
在时恒成立，
又是定义域在的单调函数，且是上的增函数，即在时恒成立，在时恒成立令，
由抛物线图象可得，则实数的取值范围为．

17.【详解】因为，，所以，解得，所以，
任取实数，且，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
由知，在上单调递减，所以，
因为对恒成立，所以，
即，化简得，解得，
即实数的取值范围是．

18.【详解】当时，；
当时，，
．
若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，
最大利润是万元．

19.【详解】因为函数过点，
将点代入函数的解析式，可得，解得，
所以函数解析式为．
由函数，
可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
要使得函数不单调，可得，解得，
所以实数的取值范围；
(ⅱ)由(ⅰ)知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
当时，即时，在单调递增，所以；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
所以；
当时，即时，在单调递减，所以，
所以表达式为

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