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山东省菏泽第一中学人民路校区2026届高三上学期9月检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.复数是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在正项等比数列中，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两个不同的点，且为线段的一个三等分点，则( )
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得若分别是方程和的根，则( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若小明坐公交上班的用时单位：分钟和骑自行车上班的用时单位：分钟分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10.双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则( )
A. 点在直线上
B.
C. 外接圆的面积为
D. 连结交轴于点，则
11.已知函数是其导函数若存在且，满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.的展开式中的系数为 ．
14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，且满足．
求；
若为边上一点异于端点，，求的取值范围．
16.本小题分
如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面
证明：；
若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若，讨论方程的根的个数．
18.本小题分
已知某商店出售商品，据统计分析，发现顾客对商品的需求量相对稳定，每周内对商品的不同需求量单位：个与概率的数据如下：
对的需求量
概率
若以商品的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品进行盘点存货：如果商品都售出了，则在周末及时采购个新的商品，只要商品还有个存货，就不采购新的商品记为该商店第周开始时商品的供给量，假设．
求的分布列；
记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为．
求商品的定常态分布；
从长远来看，求该商店改善经营后商品需求大于供给的概率．
19.本小题分
已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点．是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到．
求；
记直线的斜率为．
设的面积分别为，证明：；
若，求证：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】在中，因为，
所以，
得到，
据正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以．
在中，因为，
所以，则，
由正弦定理得，
则，
又因为，所以，则，
结合函数性质可得，故的取值范围为．
16.【详解】过点作于，
由平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，故，又为直径，易知，
且平面，所以平面，平面，
，且，平面，，
平面，平面，故．
由知，，
当时，取到最大值，过点作于，
建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，
设平面与平面的法向量分别为．
则，，
所以，则
令，可得，
所以，因为平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值．

17.【详解】的定义域为，则，
因，由，解得，
当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，
令，则，由解得．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故．
结合图象，可知，
当时，方程有个实根；
当或时，方程有个实根；
当时，方程有个实根．

18.【详解】由题意，第周开始时商品不同供给量的概率为，，
第周开始时商品供给量的概率为
，
．
第周开始时商品的供给量分布列为
记为商品第周内的的需求量，由题意，与的状态有关，
当时，若，则；若，则，
设，即，
由全概率公式可得，
，
由，得，解得，故．
由可知，定常态分布，所以从长远来看，
，
记商品需求大于供给的概率为，由全概率公式得
．

19.【详解】解：由题意在处的切线方程为；
令，可得，即．
由可知在处的切线方程为；
令可得，即；
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以．
设，由题意不同时为，不妨令且；
．
由可知；
则．
要证，即证，即证；
令，即证，再令，即证，即证．
构造函数，则，所以在上单调递增；
即所以得证即．
由可知，，所以．
因为得；
即，即．
得，因为，所以；
所以．
所以即．
当时，有，即；
所以，从而．

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