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山东省青岛市青岛五十八中高新学校2026届高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
4.若直线被圆截得的弦长为，则正数( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，则函数与图象交点的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设周期数列的前项和为，若，则的取值不可以为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有( )
A. ， B. 与均为的最大值
C. D.
10.已知，则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有( )
A. 当时，曲线与轴有个交点
B. 曲线的图象关于对称
C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于
D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中，含的项的系数是 ．
13.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 ．
14.为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，长方体中，，，，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
Ⅰ在图中画出这个正方形不必说出画法和理由；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且．
若，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆，，是的右顶点．
若的焦点，求离心率；
若，且上存在一点，满足，求；
已知的中垂线的斜率为，与交于、两点，为钝角，求的取值范围．
19.本小题分
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示个微生物个体繁殖下一代的个数，．
已知，求；
设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
根据你的理解说明问结论的实际含义．
参考答案
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15.【详解】Ⅰ交线围成的正方形如图：
Ⅱ作，垂足为，则，，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的法向量，则即．所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为．

16.【详解】由于，则，
点在上，故；
又，则，
则，解得或；
由题意得的定义域为，
则，
令，
当时，即，所以在上单调递减；
当时，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，的根为，
由于，即，
当或时，，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
当时，在上单调递增；

17.【详解】在中，，若．
又，
由知．
如图，在中，过作的垂线，且使，则，
，即，得，
，
，
设，在区间单调递减，
，即

18.【详解】由题意知，，则，
由右焦点，可知，则，
故离心率．
由题意，
由得，
解得，代入，
得，又，解得．
由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，
则，解得，
由得中点坐标为，
故直线，显然直线过椭圆内点，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设，
由消得，
由韦达定理得，
因为为钝角，则，且，
则有，
所以，
即，解得，
又，
故，即的取值范围是．

19.【详解】．
设，
因为，故，
若，则，故．
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故为的一个最小正实根，
综上，若，则．
若，则，故．
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且．
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，．
意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过，则若干代后被灭绝的概率小于．

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