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山西省山西大学附属中学校2026届高三上学期10月模块诊断
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，使得，则为( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3.在复平面内，复数，则对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为若为钝角，则的焦距为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是( )
A.
B. 为奇函数
C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D. 在上的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 设随机变量，若，则
C. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合得更好
D. 某人解答个问题，答对题数为，则
10.设函数，则( )
A. 当时，在处取极大值
B. 当时，方程有个实根
C. 当时，是的极大值点
D. 存在实数，恒成立
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合．

证明：平面平面；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为，椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若的极小值小于，求的取值范围；
讨论的零点个数．
19.本小题分
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走每经过分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动猫从当前房间移动到另一房间的概率为，留在该房间的概率为；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为，已知在第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间设在第分钟时，猫和老鼠在号房间的概率分别为，．
求第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率；
求证：，均为等比数列；
在第几分钟时，老鼠在号房间的概率最大？
参考答案
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15.【详解】因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立解得
所以．
由可得，
所以
．

16.【详解】因为是底面圆上的一条直径，
所以，
因为底面圆，，
所以底面圆，
因为底面圆，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
因为底面圆，圆，
所以，，
所以为二面角的平面角，
故，又，所以为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，设，故，，
，
，，
设平面的法向量为，
则
解得，令，得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，

直线与平面所成角的正弦值为．

17.【详解】由题意，可得，又，
所以椭圆的方程为；
由题，得直线斜率存在，由知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得，，
设，则，，
又，则，
由得，所以，同理得，
所以
所以为定值．

18.【详解】当时，，则，
所以，，
则曲线在点处的切线方程为，
整理得：．
函数的定义域为，且，
当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不符合；
当时，
由，得，即在上单调递增；
由，得，即在上单调递减，
所以的极小值为，而的极小值小于，
所以，即，
令，则，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以可得
．
令，得，
令，则与有相同的零点，
且．
令，则，
因为，则，所以在区间上单调递增，
又，，所以，使得，
当时，，即；当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，最小值为．
由，得，即，
令，，则，则在单调递增，
因为，所以，则，
所以，从而，，
所以的最小值，
又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
若，即，无零点，故无零点；
若，即，有个零点，故有个零点；
若，即，有个零点，故有个零点．

19.【详解】在第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
设为第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则，，
设第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率．
依题意，，，
当时，猫在第分钟时位于号房间包含两种情况：
上一分钟在号房间，继续保持在号房间的概率为；
上一分钟在号房间，转移到号房间的概率为，
由全概率公式，得，则，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，满足上式也满足题意，则，
老鼠第分钟在号房间包含种情况：
上一分钟猫和老鼠都在号房间，老鼠转移到号房间的概率为，
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠转移到号房间的概率为，
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠仍在号房间的概率为，
由全概率公式，得，
即，则，
即，而，
因此数列是首为，公比为的等比数列，
，而满足上式也满足题意，则，
又，
所以为等比数列．
由知，显然不是其最大值，设，
当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为；
当为偶数且时，，当时，，最大值为，
则的最大值为，所以在第分钟时，老鼠在号房间的概率最大．

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