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2025-2026学年江苏省南京市江宁高级中学高二上学期9月调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.某圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.复数其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知事件和事件独立，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.：与：相交弦所在直线为，则被：截得弦长为( )
A. B. C. D.
7.已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则下列不正确的是( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
10.已知椭圆：，：，则( )
A. ，的焦点都在轴上 B. ，的焦距相等
C. ，没有公共点 D. 离心率比离心率小
11.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ．
13.记的内角的对边分别为，若，则 ．
14.已知函数，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，．
若，求过点且与直线平行的直线方程；
求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点
求椭圆的方程；
设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值；
设为椭圆上任意一点，当最大时，求的面积．
17.本小题分
记是内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，．
证明：；
若，求．
18.本小题分
如图，直三棱柱中，分别为和的中点．
求证：平面；
若，，求二面角的正切值；
若，，，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，
已知圆和圆．
若直线过点，且被圆截得的弦长为，
求直线的方程；设为平面上的点，满足：
存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，
它们分别与圆和圆相交，且直线被圆
截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.当时，直线的方程为，斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，
即；
由，
可得：，
由，可得，
即直线经过一个定点；
由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，所以，
所以直线的方程为，
即．

16.由椭圆的离心率为，得，则，
由椭圆经过点，得，于是，
所以所求椭圆的方程为．
由得，设，则，
令到直线距离为，则
，
所以到距离与到直线距离之比为定值．

由知，，
在中，由余弦定理，得
，当且仅当时取等号，
由余弦函数在上单调递减，得当时，取最大值，
此时，
所以当最大时，的面积为．

17.设的外接圆半径为，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
方法一【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，
在中，
由得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，舍去．
当时，．
所以．
方法二：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
方法三：正弦定理、余弦定理相结合
由知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
方法四：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法．
方法五：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以
由余弦定理得，
所以
联立，得．
所以或．
下同解法．
方法六：建系求解
以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由知，，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动．
设，则
由知，，
即
联立解得或舍去，，
代入式得，
由余弦定理得．

18.如图，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，所以且，
又因为直三棱柱中，为的中点，所以且，
所以且，故四边形是平行四边形，从而，
因为平面，平面，所以平面．
以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，故，
设二面角的平面角为，则，则，
所以；
由，，，得，
设，则，
，，
由得，解得，
，，设平面的法向量为，
则，令，得，故，
，
设与平面所成角为，则

19.设直线的方程为，即由垂径定理，得圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得，化简得，解得或．
所求直线的方程为或，即或．
设点坐标为，直线、的方程分别为，，即，．
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心到直线与圆心到直线的距离相等．故有，
化简得或．
因为关于的方程有无穷多解，所以有
解得点坐标为或．

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