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吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．下列等式中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3＝﹣2x B．x+3＝﹣2x
C．x+3＝﹣2y D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
3．关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根 4. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16
5.在2025年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为8678人，第四场比赛到场观赛人数为14266人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A.8678（1+x）2＝14266 B 8678(1 + 2x) = 14266
C 8678 x2= 14266 D 8678(1 + x2) = 14266
6．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝8；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
7. 一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是
8.设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n= __．
9．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，请列出方程并化成一般形式：　 　 ．
10．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点P在AD上，点Q在BC上，且DP＝BQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 　 　 ．
12．如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ．
三．（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13．选用恰当的方法解方程：
（1）（x+3）2＝2x+6；
（2）2x2﹣15x+7=0
14． 四边形是正方形，分别是和的延长线上的点，且，连接、、．
（1）求证：；
（2）若BC=8，DE=2,求的面积．
15.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+＝﹣1，求k的值．
16． 如图1，2，矩形中，M为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，求作点P为中点；
（2）在图2中，求作点Q为的中点．
17．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
四．（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18．（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
19. 定义新运算“ ”：当时，；当时，．
如：∵，∴；
∵，∴．
（1）计算：_______；
（2）若，求x的值．
20. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元
五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）．
（1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
（3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
22．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．
（1）关于x的代数式x2﹣12的不动值是　 　 ．
（2）判断关于x代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由．
（3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）．若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值．
六．（本大题共12分）
23．材料阅读：中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线．而在三角形中，它的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例：如图1，在△ABC中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE为△ABC的中位线，并且DE∥BC，DE＝BC．请根据材料，完成以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，且D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，分别连接DE、EF、FD．证明：四边形ADFE是菱形．
（2）如图3，已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
①若点F在边CD上，如图3，猜想△GFC的形状并说明理由．
②取DF中点M，连接MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/27 14:00:27；用户：周阳；邮箱：18720468144；学号：50380986吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评
九年级数学试卷参考答案
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1.A 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7.10 8.2 9. x2﹣35x+34＝0 10. 14 11. 5 12.或或
三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13.解：（1）（x+3）2＝2（x+3），
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣2）＝0，
x+3＝0或x+3﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1；
x1＝1/2，x2＝7；
14（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
而F是的延长线上的点，
∴，
在和中
∴；
(2)解：∵
∴，
在中，DE=2，，
∴，
∵
∴，
∴，即
∴的面积=34
15.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的实数根，
∴x1+x2＝﹣2k﹣3，x1x2＝k2，
∴+＝＝＝﹣1，
解得：k1＝3，k2＝﹣1，
经检验，k1＝3，k2＝﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k＝3．
16.（1）解：如图，点即为所求，
(2)解：如图，点即为所求
17.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵CG∥AF
∴四边形AGCF是平行四边形
∵AB∥CD，
∴∠FCA＝∠GAC，
由折叠得，∠GAC＝∠FAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴FC＝FA，
∴四边形AFCG是菱形，
∴小明说得对。
（2）∵四边形AFCG是菱形，
∴∠FCA＝∠GCA，
由折叠得，∠ACB＝∠ACE，
∴∠GCB＝∠FCE＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝50°，
∴，
∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°．
四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18（1）证明：在△APB和△APD中，
∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∴△APB≌△APD，
∴PB＝PD．
（2）猜想：PD＝EF．
证明：连接PB．
由（1）可知：PB＝PD．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PB＝EF，
∴PD＝EF．
19.（1）解：
．
故答案为：．
(2)解：当时即，；
整理，得，
解得（舍去），
此时；
当时即，．
整理，得，
解得（舍去），
此时；
综上所述，符合题意的x的值为或．
20.（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
(2)解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，
∴BQ＝4tcm，AP＝2t cm，
∵AB＝10cm，
∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，
∵B在PQ的垂直平分线上，
∴PB＝BQ，
∴10﹣2t＝4t，
解得，
∴当时，点B在PQ的垂直平分线上；
（2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，
∴BQ＝4t cm，AP＝2t cm，
∵AB＝10cm，
∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2，
∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm；
（3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，
∵△PQC的面积等于32cm2，
∴，
∴，
∴t＝1或t＝7（舍去），
∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2．
22.解：（1）当x2﹣12＝x时，则x2﹣x﹣12＝0，
∴（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x+3＝0 或x﹣4＝0，
解得x＝﹣3或x＝4，
∴关于x的代数式x2﹣12的不动值是4或﹣3，
故答案为：4或﹣3；
（2）关于x代数式2x2﹣x+1没有不动值，理由如下：
当2x2﹣x+1＝x时，则2x2﹣2x+1＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴2x2﹣x+1＝x不成立，
∴关于x代数式2x2﹣x+1没有不动值；
（3）当a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x时，则a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0，
∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+（2a﹣3）（a﹣5）＝0，
∴[ax﹣（2a﹣3）][ax﹣（a﹣5）]＝0，
∴ax﹣2a+3＝0 或ax﹣a+5＝0，
∴或，
∵原代数式的不动值至少有一个是整数，
∴或是整数，
∴a的值可以是1或3或5．
六、解答题（本大题共12分）
23.解：（1）证明：∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DF＝AC，EF＝AB，
∵AB＝AC，
∴DF＝EF＝AD＝AE，
∴四边形ADFE是菱形；
（2）①结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
，
∴△DAH≌△DCH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形；
②如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝10，
在Rt△DCE中，CE＝＝6，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝10，
在Rt△DCE中，CE＝＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2．
综上所述，BE的长为14或2．

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