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2025-2026学年贵州省贵阳市清华中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知实数，满足，则复数的模为( )
A. B. C. D.
3.奇函数满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
4.某同学测得连续天的最低气温分别为，，，，，，单位，若这组数据的平均数是中位数的倍，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，，，，是正弦函数图象上的四个点，且在，两点处的函数值最大，在，两点处的函数值最小，则( )
A. B. C. D.
6.设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过坐标原点的直线与圆相切，且直线与抛物线：交于点，，若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内有两个不同的零点，则的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.二项式的展开式中含的项的系数是，则下列说法正确的是( )
A. B. 展开式中含的项的系数是
C. 展开式中一定有含的项 D. 展开式中的常数项是
10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则有( )
A.
B. 过原点的切线有两条
C. 和都是的极大值点
D. 当时，必有
11.如图所示，在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于的等腰直角三角形，为母线的中点，点为底面上的动点，且，点在直线上的射影为，当点运动时，则有( )
A. 三棱锥体积的最大值为
B. 直线与直线不可能垂直
C. 点的轨迹长度为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知夹角为的非零向量、满足，且，则______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若，，，则椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若数列是公差为的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为．
求数列，的通项公式；
设，记数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，且平面，为线段上一点，且平面将四棱锥分成体积比为：的两部分．
求证：平面平面；
Ⅱ若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动．
Ⅰ为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性
女性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
Ⅱ某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
求，；
证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小、
附：．
18.本小题分
已知，分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ设过的直线与双曲线交于，两点与、不重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程．
记，若有两个零点．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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14.
15.解：数列是公差为的等差数列，
由得，
，
点在函数的图象上，
；
证明：显然数列为等比数列，首项为，公比为，
则，
，
．
16.证明：平面，
：：，
即：：，
为的中点，由，，得，
又是矩形，则，
同理，，
则，平面，平面，
，而，平面，由平面，
平面平面．
Ⅱ依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，
，又平面，
即为与平面所成角的平面角，故，
，
则，，，，，
由知：平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，而，，
，取，则，
故，
，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
17.Ⅰ假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过．
Ⅱ由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
故第三次传给甲的概率为，故，．
第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则，
可得，且，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
可得，所以，
则，，
所以第次触球者是甲的概率大．
18.Ⅰ解：由双曲线的焦距为，可得，即，
又因为一条渐近线方程为，可得，可得，
而，即，解得，，
所以双曲线的方程为：；
Ⅱ证明：由Ⅰ可得，，
由题意可得直线斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立整理可得：，
，且，可得恒成立，
且，，可得，
所以为定值．
19.当时，，可得导函数，
那么，且，
因此在处的切线方程为，即．
由，则定义域为，
且，
当时，，，可得导函数，
因此函数在上单调递减，不存在两个零点，不符合题意，舍去；
当时，令导函数，可得，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，
令函数，要满足题意，那么只需，
根据导函数，因此在上单调递增，且，
所以．
证明：由可得，
令，可得，
当时，，所以在上单调递增．
所以，即，得证．
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