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2025-2026学年新疆乌鲁木齐四十一中高三（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3.已知函数，则( )
A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数为定义在上的偶函数，，，，，且，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中假命题的是( )
A. 命题“，”的否定是：，
B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件
C. 若，则的最小值为
D. 若的定义域是，则函数的定义域为
10.在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图象在点处的切线经过点，在点处的切线经过点若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是( )
A. 曲线在点处的切线方程为
B.
C. 曲线关于点对称
D. 当时，
11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 是周期为的周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正数，满足，则的最小值为______．
13.已知，则______．
14.已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，角的平分线交于点，求．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，，．
求，的通项公式；
记，求．
17.本小题分
已知三棱台，，，，，为线段的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
试判断在线段上是否存在一点点不与、重合，使二面角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点．
现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，
求；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
若，求的取值范围．
答案解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知及正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
又，所以，即，
因为，所以，
所以，得．
因为是角的角平分线，
所以，
即，
结合得，
解得．
16.由时，，则当时，可得，将代入，解得，
当时，，由，可得，即，
因，故数列为等比数列，其首项为，公比为，
故；
设等差数列的公差为，由，，解得，
故．
由题意可得，
则，
由，可得
，
故得．
17.解：证明：，，
，，
平面，
平面，E.
过点作于，
平面，平面，
，
，平面，
以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值．
存在点，使二面角为，
设，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，二面角为，
，
整理得，解得或舍，
存在点，且时，使二面角为．
18.解：记件产品中恰有件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得极大值，也为最大值，
则的最大值点．
由知，
令表示余下的件产品中的不合格品数，
依题意知，
，即，
；
如果对余下的所有产品作检验，
则这一箱产品所需要的检验费为元，
，
应该对余下的所有产品进行检验．
19.解：当时，，
，
，
，
曲线在点处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
方法一：由，可得，即，
即，
令，
则，
在上单调递增，
，
即，
令，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
，
，
故的范围为．
方法二：由可得，，，
即，
设，
恒成立，
在单调递增，
，
，
即，
再设，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
，
即
，则，
此时只需要证，
即证，
当时，
恒成立，
当时，，此时不成立，
综上所述的取值范围为．
方法三：由题意可得，，
，
易知在上为增函数，
当时，，，
存在使得，
当时，，函数单调递减，
，不满足题意，
当时，，，
，
令，
，
易知在上为增函数，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
即，
综上所述的取值范围为．
方法四：，，，
，易知在上为增函数，
在上为增函数，在，上为减函数，
与在，上有交点，
存在，使得，
则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
设，
易知函数在上单调递减，且，
当时，，
时，，
设，，
恒成立，
在上单调递减，
，
当时，，
，
．
方法五：等价于，该不等式恒成立．
当时，有，其中．
设，则，
则单调增，且．
所以若成立，则必有．
下面证明当时，成立．
，
把换成得到，
，．
．
综上，．
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