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北京市第八十中学2025-2026学年高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
5．已知，且，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
6．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据：）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
7．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．1
8．在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个
①；
②直线与平面所成角不变；
③点到直线的距离不变；
④点到四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④
C．①③④ D．①②④
10．已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
11．若复数满足，则的虚部为 .
12．已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则 ， .
13．已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为 ．
14．已知函数的定义域为，且对任意的都满足.当时，若函数与的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .
15．已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论：
①实数；
②数列为等差数列；
③当时，对任意，存在，当时，；
④当恒成立时，一定为递减数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数的一个零点为．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值．
17．如图，在正方体中，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.
18．在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数，
(1)直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
(2)已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.
20．已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求a，b的值：
(2)①求证：只有一个零点；
②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为.若，求u的取值范围.
21．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B D B B C C
11．
12．；.
13．（不唯一）
14．或
15．①②④
16．（1）由题设，化简得
解得．
故
则的最小正周期为；
（2）由，可得．
故得，即．
当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值．
由对恒成立，可得，且．
即的最大值是，的最小值是1．
17．（1），
平面为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
设直线与平面所成角为，则．
（3）正方体棱长为2，同（2）中假设，
，平面的法向量，
点到平面的距离．
18．（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
19．（1）由即可得，所以，
所以公共点坐标为，
因为，所以在公共点处切线的斜率为，
所以曲线在公共点处的切线方程为，即
（2）的面积为，
因为，所以，，所以，
所以，
，
由即可得；由即可得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，的最大值为.
20．（1）由题意知，，
所以曲线在处的切线的斜率为，
又曲线在处的切线方程为，
所以，解得；
（2）①：由（1）知，，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，
所以函数在R上存在唯一，使得，
即函数在R上存在唯一零点.
②：由①知，切线的斜率为，又，
所以，
令，得，
设，则，
令或，或，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
当时，，即，由①知，故不符合题意；
当时，由，得
，
即，符合题意，
故实数的取值范围为.
21．（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．
答案第1页，共2页
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