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2025-2026学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若空间中三个点，，，则直线与直线夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，则在方向上投影的数量为( )
A. B. C. D.
5.已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的有( )
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若空间向量，，则与的夹角为钝角
C. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数
C. 的单调递增区间为
D. 若方程在上有且只有个根，则
11.如图，正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在正方形对角线，上移动，且和的长度保持相等记，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的长为
B. 当时，三棱锥的体积是
C. 当的长最小时，平面与平面所成二面角的正弦值为
D. 存在，使得直线与所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点，斜率为的直线方程为______．
13.已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ______．
14.如图，在长方体中，点，分别是棱，上的动点，，，，直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求向量的坐标；
若，求的值．
16.本小题分
某中学高三年级某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，其中，且该名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
频数
根据频率分布直方图，求，，的值，并估计数学成绩的平均分同一组数据用该区间的中点值代表；
若数学成绩不低于分的为“优”，物理成绩不低于分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求证：；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点；已知函数，若存在，使得，则称为函数的稳定点．
证明：函数不动点一定是函数的稳定点．
已知函数，
当时，求函数的不动点和稳定点；
若函数在区间上存在个不动点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.
16.解：根据题意可得，
，
又，，
解得，，，
数学成绩的平均分为：
；
数学成绩为“优”的同学有人，
物理成绩为“优”有人，
至少有一个“优”的同学总数为名同学，
两科均为“优”的人数为人，
仅数学成绩为“优”的同学有人，仅物理成绩为“优”有人，
从人中随机抽取人的所有情况有种，
而两人恰好均为物理成绩为“优”的情况有种，
两人恰好均为物理成绩“优”的概率为．
17.
18.证明：连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
解：如图，以向量，，为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
即，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，，
可得平面的一个法向量为，
不妨取平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
解：由知，，，，
则，，
，
，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，解得或，
故当时，，当时，，
则的长为或．
19.
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