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2025-2026学年江苏省如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州中学高二上学期10月阶段性联考数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.已知直线过点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为( )
A. B. C. D.
4.若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.方程的化简结果是( )
A. B. C. D.
6.若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知直线：和直线：，点，分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
10.已知直线，直线，则下列命题正确的有( )
A. 直线恒过点 B. 存在使得直线的倾斜角为
C. 若，则或 D. 存在实数使得
11.已知圆：和圆：相交于，两点，则下列结论中错误的是( )
A. 两圆相交 B. 直线的方程为
C. 两圆有两条公切线 D. 线段的长为
12.已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共2小题，共10分。
13.两条平行直线与的距离是 ．
14.已知直线和圆若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点．
若，点的坐标为，求椭圆的标准方程
若，的面积为，求的值．
16.已知直线．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
17.已知圆过，，且圆心在轴上．
求圆的周长；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
18.亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地包含边界和内部，为坐标原点，长米，长米在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点．
求成功点的轨迹方程；
为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围．
19.定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”；若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”已知圆：，为圆的“黄金点”
求点所在曲线的方程．
已知圆：，，均为圆“”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线的方程．
(ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线：与圆交于两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. C
12.
13.
14.
15.解：已知，因为，所以，
点在椭圆上，将其代入椭圆方程，
可得，即，解得，
又因为，，，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
因为，
所以的面积，
则，
根据椭圆定义，，
由勾股定理可得，
又，
即，
在椭圆中有，将变形为，
即，解得．
16.解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，
此时直线方程为，即，
综上所述：所求直线方程为或．

17.解：
设圆心的坐标为因圆心在轴上，圆的半径为．
由圆上点到圆心距离相等，得，故：
，
．
联立等式，展开化简：
，
消去得，解得．
圆心，半径．
圆的周长为．
由垂径定理，弦长的一半为，圆半径，故圆心到直线的距离．
情况：直线斜率不存在直线方程为，圆心到直线的距离为，符合条件．
情况：直线斜率存在设直线斜率为，方程为，即．
由点到直线距离公式：，即．
两边平方得，展开化简：
，解得．
代入直线方程得，整理为．
综上所述，直线的方程为或．
18.解：设 ， ，机器人运动速度为 ，
由题意可得 ，化简得，
．
由于点 在矩形场地内，则 ．
所以成功点 的轨迹方程为 ．
解：由题意可知直线 的斜率存在，不妨设直线 ： ，
直线 与点 的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得 ，解得 ．
则点 纵坐标 ，
又因为 ，所以 ．
19.解：因为为圆的“黄金点”，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点所在曲线的方程为；
因为为圆的“黄金点”，所以，
即点在圆上，
则是圆和的交点，
因为，均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为；
设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
直线的方程为，得，的中点坐标为，
点到直线的距离为，
则，
所以圆的方程为，
假设轴上存在点满足题意，
设，，，
若轴平分，则，
即，整理得，
又，，
所以代入上式可得，
整理得，
由，得，
所以，，
代入并整理，得，此式对任意的都成立，
所以，故轴上存在点，使得轴平分．
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