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八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，364，…，，，中，无理数的个数是个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 03，， B. C. 4，5，6 D. 9，40，41
3.下列二次根式中，最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
5.由下列条件不能判定为直角三角形的是( )
A. ：：：4：5 B.
C. ，， D.
6.当时，化简结果是( )
A. B. 3 C. D. 5
7.如图，中，，，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
8.在四边形ABCD中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为( )
A. B. C. D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.的算术平方根是______的立方根是______.
10.如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，，，则阴影部分的面积是______.
11.如图，中，，，，DE是边AB的垂直平分线，则的周长为______.
12.若a，b为实数，且，则 .
13.如图，已知圆柱的底面周长为6，高，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到对面的A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为______.
14.若，则xy的平方根为______.
15.如图，长方形纸片ABCD，，，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则的面积为 .
16.已知，则的值为 .
17.如图，在中，，，，AD是的角平分线，E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 .
18.如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，以下四个结论：
①；②；③；④，
其中结论正确的是______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题16分
计算：
；
；
解方程：；
解方程：
20.本小题6分
已知的整数部分为a，的算术平方根是4，c的立方根是，求：
，b，c的值；
的平方根.
21.本小题8分
如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，求化简的结果.
22.本小题8分
为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒.如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为，，经测量，发现在260m及以内的会受到音乐的影响.
求点C到路段AB的距离；
判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响.
23.本小题10分
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题.
【小试牛刀】
如图1，铁路上A，B两点看作直线上的两点相距24千米，C，D为两个村庄看作两个点，，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米；
在的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得，求AP的长.
【知识迁移】
借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值.
24.本小题8分
已知，；
求的值；
若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值.
25.本小题10分
小芬在解决问题：已知，求的值.她是这样解的.
，
，，；
请你根据小芬的解答过程，解决如下问题：
计算：；
若：
①求的值；
②求的值.
26.本小题12分
已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD的右侧作，
如图1，点D在AB边上，探究线段BE和线段AD数量关系和位置关系，并说明理由；
如图2，点D在B右侧，若，，请求出DE的长；
如图3，，，，请求出线段BC的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：…，，是无理数，
故选：
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】解：，，，不是整数，不是勾股数；
B. ，，不是整数，不是勾股数；
C.，不是勾股数；
D.，是勾股数；
故选：
根据勾股数的定义逐一判断即可．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
3.【答案】B
【解析】解：，故选项A不符合题意，
B.是最简二次根式，故选项B符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D不符合题意．
故选：
根据最简二次根式定义解答即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故选：
分别对选项进行判断，可得，即可求解．
本题考查二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算方法，准确计算是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可．
解：A、由题意：，是锐角三角形，本选项符合题意．
B、，，，是直角三角形，本选项不符合题意．
C、，，，，，是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，，是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：
本题考查勾股定理的逆定理，平方差公式，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：当时，，，
，
故选：
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，有一定难度，解题关键是用的面积表示出
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明；；，进而即可求解.
【解答】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
由题意，，，，
，
，，，
，
所以
，
，，
，，
，
，
，，，
，
同理可证：，
，
，
故选
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
垂直平分AC，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
在中，，
由勾股定理得，
即，
解得，
故选：
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出，再根据ASA证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出，利用勾股定理即可求出CD的长．
本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定EO垂直平分AC是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：的算术平方根是；
，其立方根是；
故答案为：；
根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案．
本题考查算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】64
【解析】解：如图，
由勾股定理得，，
四边形ABFD为正方形，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：，，，
，
是边AB的垂直平分线，
，
的周长
故答案为：
由勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质推出，于是得到的周长
本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到
12.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
故答案为：
根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】
解：把圆柱侧面展开，展开图如下图所示，
点A、C的最短距离为线段AC的长．
在中，，，，
所以，
从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为
14.【答案】
【解析】解：要使有意义，则，
同理，，
解得，，
则，
，
的平方根是，
的平方根为，
故答案为：
根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作于点H，
四边形ABCD是矩形，，，
，，
，
将矩形ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，
，，
，，
，
，
，
解得，
，
，
四边形ABEH是矩形，
，
，
故答案为：
作于点H，由矩形的性质得，，则，由折叠得，，则，，由勾股定理得，求得，则，可证明四边形ABEH是矩形，则，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】解：设，则，且，
，
即，
解得：，
，
，
，
即，
故答案为：
设，利用完全平方公式解答即可．
此题考查完全平方公式和二次根式的化简求值，关键是利用完全平方公式解答．
17.【答案】
【解析】解：在AB上取一点G，使，
，，
≌，
，
，
当三点共线时取等，此时，
而最小值时CG垂直AB时，CG的长度，
由勾股定理可知，
，
故答案为：
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
本题主要考查了轴对称最短路线等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18.【答案】①②③
【解析】解：①，
，
即
在和中
，
≌，
故①正确；
≌，
，
，
，
，
；故②正确；
③，，
，
，故③正确；
④，
，，，
，
，
，
故④错误．
故答案为：①②③．
①由条件证明≌，就可以得到结论；
②由≌就可以得出，就可以得出而得出结论；
③由条件知，由就可以得出结论；
④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
19.【答案】；
；
或；

【解析】
；
；
，
，
，
或；
，
，
，
，
先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可；
根据平方根的定义解方程即可；
根据立方根的定义解方程即可．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，平方根，立方根，正确计算是解题的关键．
20.【答案】，，；

【解析】，
，
的整数部分
的算术平方根是4，
，
把代入，得，
解得：
的立方根是，
，
，b，c的值分别为4，，；
把，，代入，
的平方根为
利用“夹逼法”求出a的值，根据算术平方根定义求出b的值，根据立方根定义求出c的值即可；
把a，b，c的值代入求出值，然后再求平方根即可．
本题考查了估算无理数的大小，平方根，算术平方根，立方根，掌握“夹逼法”估算无理数的大小，平方根定义，算术平方根定义，立方根定义是解题的关键．
21.【答案】解：由实数a，b，c在数轴上对应点的位置可知，，
，，

【解析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义以及二次根式的性质和化简方法是正确解答的关键．
根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置确定，的符号，再根据二次根式的性质和化简方法，绝对值的定义进行计算即可．
22.【答案】如图，过点C作于D，
，，，
，
是直角三角形．
，
，
，
答：点C到路段AB的距离是240m；
学校C会受噪声影响，
理由：在260m及以内的会受到音乐的影响，学校到AB的最小距离为240m，
学校会受到影响，
当时，正好影响C学校，
，
，
洒水车的行驶速度为50米/分钟，
分钟，
即影响该学校持续的时间有4分钟．
【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长；
根据在260m及以内的会受到音乐的影响，学校到AB的最小距离为240m，可知学校C会受噪声影响，利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
23.【答案】25；
千米；
20
【解析】如图，连接CD，过点C作于点E，
，，
，
四边形ABCE是矩形，
千米，千米，
千米，
千米，
由勾股定理得：千米，
故答案为：
如图，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P点，则点P即为所求；
连接PC，PD，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
千米，千米，千米，
千米，
，
千米．
如图，先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作与E，
即DF就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
代数式的最小值为
连接CD，作于点E，可得CE，DE的长，在中，运用勾股定理即可求解；
连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P点，则点P即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米，得千米，即可解答；
根据轴对称-最短路线的求法即可求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24.【答案】解：，，
；
，
，，
由知，，
，，
又的小数部分为a，y的小数部分为b，
，，

【解析】先进行分母有理化，再直接代入计算即可；
分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可．
本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键．
25.【答案】7；
①3；
②
【解析】原式
；
①，
，
，
即，
，
；
②
先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
①先分母有理化，再移项、平方得到，接着把变形为，然后利用整体的方法计算；
②先把变形为，整理得到，然后再变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值要先化简再代入求值．也考查了乘法公式和分母有理化．
26.【答案】解：，，理由如下：
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
；
如图2，连接BE，
，
，
即，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
过点C作交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则，
，
即，
，，
，
又，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，

【解析】由“SAS”可证≌，可得，，可得结论；
由“SAS”可证≌，得，则，由勾股定理可求解；
由“ASA”可证≌，可得，由勾股定理可求DE，BD的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

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