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上栗中学2025－2026学年度第一学期第一次月考
高二数学参考答案
一、单选题（8×5=40分）
1.C；2.C；3.D；4.B；5.B；6.A；7.D；8.A
二、多选题（3×6=18分）
9.AB；10.ABD；11.BD
【说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分；第11题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分.】
三、填空题（3×5=15分）
12.；13.；14..
四、部分小题及解答题详解
8．【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，
则有：，解得：，又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，所以，解得，解得，故选：A
10．【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；B选项，对于直线，圆心到的距离，此时所有圆均与相切，故B正确；C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，D正确；选ABD.
11．【详解】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
如下图，对于A，图形Ω是边长为的菱形，关于点对称，故A错误；其面积为，B正确；对于C，曲线C与椭圆除交于外在第二象限还有一个公共点，共有两个公共点，故C错误；观察图形知，为到直线的距离，，D正确；选BD.
13．【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则，
，由椭圆的定义可得，则，
易得在椭圆外，故，
当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为．
故答案为：.
14．【详解】设右焦点为，连接，因为四边形是菱形，则关于轴对称，所以，在中，，所以，所以
15．(1)；(2)
【详解】（1）因为，，所以，的中点坐标为，
又，所以，所以直线的方程为，即；
（2）设三角形的外接圆方程为，
依题意可得，解得，
所以三角形的外接圆方程为，即.
说明：采用其他方法同样给分.
16．(1)或；(2)．
【详解】（1）圆心为，半径为，
①当切线斜率不存在时，显然满足要求；
②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，
即：，
所以圆心到切线的距离等于半径2，即：，
则切线方程为，化简可得；
所以切线方程为：或
（2），，设，动圆的半径为，
所以，
所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设M的轨迹方程为：.则，，所以，故圆心M的轨迹方程为．
17．(1)证明见解析；(2) ，最短弦长.
【详解】（1）直线，即，
联立解得所以不论a取何值，直线l必过定点，又，则在圆内部，故直线与圆总相交.
（2）由，知圆心，半径为.
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，，
有，解得此时直线l的方程是
圆心到直线的距离为，所以最短弦长是
18．(1)不在；(2)17.5米
【详解】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系
则，观景直道所在直线的方程为
依题意得：游客所在点为，则直线AB的方程为，化简得，
所以圆心O到直线AB的距离，故直线AB与圆O相交，
所以游客不在该摄像头监控范围内.
（2）由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线l过A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设，整理得
所以圆心O到直线l的距离为，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或，
设这两条直线与交于D，E，由，解得，由，解得，所以，
观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.
说明：以观景直道为轴或其他合理位置建立平面直角坐标系同样给分.
19．(1)；(2)；(3)
【详解】（1）圆，圆心，半径.
若直线的斜率为，则直线斜率为，
则直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离.
.故弦的长为.
（2）①当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积；

②当直线的斜率存在且为时，
直线的方程为，经过圆心，
过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交，故此时不存在；

③当直线的斜率存在，设为且时，设直线，即.
则直线，即
由圆心到直线的距离，得，解得．
所以圆心到直线的距离，因为，即，所以．
由，所以，所以E点到直线的距离即点到直线的距离，所以的面积．
令，则，所以，
因为，所以，所以，综上所述，面积的取值范围是.
（3）圆，圆心，半径.
由题意直线存在斜率，设直线，设，
联立消得，，由韦达定理得，，.则，即（）
又圆与轴交于，
则直线，直线，
联立两直线方程消得，，
将（）式代入得，，
解得.故直线交点在定直线上.

供题：萍乡市上栗中学 刘维
答案第6页，共7页上栗中学2025-2026学年第一学期第一次月考
高二数学试卷
（时量：120分钟 分值：150分 供题人：）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线过点和，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的短轴长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．已知直线，，，若且，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．7
4．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ）
A． B． C． D．3
5．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
7．数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点. B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为 D．原点到直线的距离为1
A．这组圆的圆心始终在一条直线上 B．存在定直线与这组圆均相切
C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆均不经过点
11．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（ ）
A．图形Ω关于点对称 B．图形Ω的面积为1
C．曲线C与椭圆有四个公共点 D．若P为曲线C上的点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线，，则与的距离为 .
13．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ．
14．已知为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上两点，且满足四边形是菱形，则此椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知的顶点坐标分别为，，．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)求三角形的外接圆方程．
16．已知圆：和圆：
(1)过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
17．已知圆，直线.
(1)证明：直线l总与圆相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．
18．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．
(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．
19．平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点．
(1)若直线的斜率为，求弦的长；
(2)若的中点为，求面积的取值范围；
(3)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上.
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